Question

求y=x^(1/x)的极值

Answer 1

求y=x^(1/x)的极值
解：定义域：x>0；
lny=(1/x)lnx，y′/y=(-1/x²)lnx+1/x²=(1/x²)(1-lnx)；令y′=y(1/x²)(1-lnx)=0，得1-lnx=0，lnx=1，x=e
是极大点，极大值y(e)=e^(1/e)≈1.444667.
x→0limx^(1/x)=0；x→+∞limx^(1/x)=x→+∞lime^[(1/x)lnx]=x→+∞lime^[(lnx)/x]
=x→+∞lime^(1/x)=1.

Answer 2

y=f(x)=x^(1/x)=e^{ln[x^(1/x)]}=e^[(1/x)lnx]
令f'(x)=e^[(1/x)lnx]*[(1-lnx)/x²]＝0
解得唯一驻点x=e
∴y=x^(1/x)的极值为
y=f(e)=e^(1/e)

Answer 3

ln(y)=(1/x)ln(x)
求导
（1/y）*y'=-(1/x^2)ln(x)+(1/x)*(1/x)=(1/x^2)[1-ln(x)]
y'=(1/x^2)*[1-ln(x)]*x^(1/x)=0
则1-ln(x)=0
x=e
极值为e^(1/e)