Question

关于x的不等式(1+m)x²+mx+m<x²+1对于x∈R恒成立，，求实数m的取值范围

Answer 1

∵(1+m)x²+mx+m<x²+1对于x∈R恒成立
即mx²+mx+m-1<0对于x∈R恒成立
∴
(1)若m≠0, 则mx²+mx+m-1为二次三项式
当且仅当m<0且△<0时, mx²+mx+m-1<0对于x∈R恒成立
△=m²-4m(m-1)=-3m²+4m<0
3m²-4m>0
m(3m-4)>0
m<0或m>4/3
∴m<0
(2)若m=0, 则不等式化为-1<0恒成立
∴综上所述可知m的取值范围是m≤0

追问

为什么不用讨论（1+m）是否为零，这不是“伪二次函数”吗？

追答

因为不等式右边还有x²项，所以先移项再考虑二次项系数是否为0

追问

哦，谢谢你的帮忙。

Answer 2

移项，整理
mx²+mx+(m-1)<0

m=0，是-1<0，成立

m≠0
二次函数恒小于0
则开口向下，m<0
且△<0
m²-4m(m-1)<0
3m²-4m>0
m(3m+4)<0
因为m<0
所以m<-4/3

综上
m<-4/3，m=0

追问

为什么不用讨论（1+m）是否为零，这不是“伪二次函数”吗？

追答

不用的
，右边不是0
整理以后是mx²

Answer 3

(1+m)x²+mx+m<x²+1
mx²+mx+m-1<0
对于x∈R恒成立
（1）m=0时，x²<x²+1
当然成立
(2)必须m<0
x²+x+1-1/m>0
△=1-4(1-1/m)<0
1-4+4/m<0
4-3m/m<0
(3m-4)/m>0
m>4/3或m<0;
得：m<0
所以，实数m的取值范围:m≤0

追问

m=0不行吗？
为什么不用讨论（1+m）是否为零，这不是“伪二次函数”吗？

追答

我已作修改

Answer 4

移项整理，mx^2+mx+m-1< 0恒成立，m=0时等式是成立的。
m不等于0时， 抛物线开口必须向下，即m<0
并且最高点必须小于零，也即
m(x+1/2)^2+3/4*m-1< 0，最高点3/4m-1<0，故m<4/3

综上，m<=0,时等式恒成立。