Question

求极限lim(1-1/2x)^x(x趋向无限大）

我这种做法错在哪儿？
设y=(1-1/2x)^x
lny=xln(1-1/2x)
limlny=ln(1-1/2x)/(1/x)
由罗必塔法则
=lim(-2x^2)/(2-1/x)=-无限大
limy=lime^lny=e^limlny=0
而正确答案是用e的定义做的=e^-1/2
求教错在哪儿？

Answer 1

ln(1-1/2x)求导是1/(1-1/2x)*1/（2x²)=1/(2x²-x)
1/x求导是-1/x²
所以=lim[-x²/(2x²-x)]
=-1/2
所以极限=e^(-1/2)

Answer 2

这个题目这样做最好

lim(1-1/2x)^x(x趋向无限大）
=[lim(1-1/2x)^2x(x趋向无限大)]^1/2
=(1/e)^1/2
=e^-1/2