Question

已知△ABC，分别以AB，AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE， 使AB=AD，AC=AE且∠BAD=∠EAC，BE与CD交于点P

当∠BAD=90°时，若∠BAC=45°，∠BAP=30°，BD=2，求CD的长。

好的加分！！！！！！！
用全等做啊！！！！！！谢谢各位！！！！！！！

Answer 1

解:∵∠DAB=∠CAE=90°;∠BAC=45°.
∴∠DAC=∠BAE=135°;又DA=BA,AC=AE.
∴⊿DAC≌⊿BAE(SAS),得:BE=DC;∠ADC=∠ABE.
把AB与PD的交点记为点O,∠AOD=∠POB,由三角形内角和为180度可知:∠OPB=∠OAD=90度.
BE=DC,则点A到BE和DC的距离相等.(全等三角形对应边上的高相等)
∴∠APO=∠APE=45°.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)
∵∠APE=∠BAP+∠ABP,即45°=30°+∠ABP.
∴∠ADC=∠ABP=15°.
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=135°;∠DAE=360°-∠DAC-∠CAE=135°.
∴∠DAC=∠DAE;又AD=AD,AC=AE.则⊿DAC≌⊿DAE(SAS),CD=ED;∠ADE=∠ADC=15°.
故∠BDE=∠BDA+∠ADE=(45+15)=60°;
同理可证:⊿DAE≌⊿BAE(SAS),DE=BE.
∴⊿BDE为等边三角形,得:ED=BD=2,所以CD=DE=2.(等量代换)

Answer 2

不难证明△BAE全等于△DAC
则可以证明CD垂直于BE（可以用角度证，也可以看成△BAE旋转90度变成△DAC，相应线段垂直是必然的）
因此
∠DAB = ∠DPB = 90
A,D,B,P四点共圆，直径BD=2
DP 弦对应120度，DP = 2√3
而∠APB = 90 +∠APD = 90+ABD = 135
=>
∠ABP = 180-135-30 = 15
AP = 2*BD*sin15
同理：A,P,C,E四点共圆
∠APE = 180-∠APB = 45，∠PAE = 90+15=105
=>
∠AEP = 180-105-45 = 30
此圆直径d = AP/2sin30 = AP
CP = 2*AP*sin15 = 4BDsin^2(15) = 8-4√3
=>
CD = 8-2√3

追问

...亲。。。。我八年级。。。能用全等做不？？？谢谢、、、

追答

另解：证明△BAE全等于△DAC和CD垂直于BE后，可知
∠APB = 90 +∠APD = 90+ABD = 135
=>
∠ABP = 180-135-30 = 15
而∠BAE=145
BA = √2
三角形三个角度和一条边确定了，那么BE长度就能求了

追问

对不起啊，没看明白。。。。能解释的详细一点吗，我给你50分

Answer 3

已经知道∠ABP等于15°了，所以∠DBE等于60°，延长EA交DB于M，所以∠MEB=30°，所以MB=1/2BE=1/2CD=1，所以CD=2