Question

AB是⊙o的直径,AC是⊙o的弦,D为弧BC的中心,过点D作⊙o的切线交AC的延长线。

AB是⊙o的直径,AC是⊙o的弦,D为弧BC的中心,过点D作⊙o的切线交AC的延长线于点E，求证：（1）DE与AE有何位置关系？证明你的结论。（2）连接BC，DE于BC有何关系？证明你的结论。（3）2AE=AC+AB

Answer 1

1.垂直,连接OD

∵D为⊙o的切点

∴OD⊥DE即∠ODE=90°

∵D为弧BC的中点

∴∠COD=∠DAB

又因为∠DAB=∠ODA

∴∠EAD+∠ADE=90°

∴DE⊥AE

2.平行

∵AB是○O的直径

∴∠ACB=90°

又由1知∠AED=90°

∴DE∥BC

3.D为弧BC的中点则∠COD=∠DOB CD=BD

∵OB=OC OF=OF

∴△OCF≌△OFB

∴CF=BF

由1和2知BC⊥OD

∴四边形OBDC为菱形

∴△AOC为等边三角形

∴AC=2CE AB=4CE

∴AC+AB=6CE=2AE

即AC＋AB=2AE