在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和S满足Sn^2=an(Sn-2).
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解:Sn^2=an(Sn-2)=(sn-s(n-1))(sn-2)=sn^2-2sn-sn*s(n-1)+2s(n-1)
则-2sn-sn*s(n-1)+2s(n-1)=0 变形得1/sn-1/s(n-1)=1/2
故{1/sn}是首项为1/s1=1公差为1/2的等差数列
则1/sn=1+1/2(n-1)=(n+1)/2
故sn=2/(n+1)
则1+sn=(n+3)/(n+1)
使(1+S1)(1+S2)...(1+Sn)≥K根号2n+1恒成立
也即使(1+S1)(1+S2)...(1+Sn)/√(2n+1)≥K恒成立
故只需k不大于(1+S1)(1+S2)...(1+Sn)/√(2n+1)的最小值即可。
令f(n)=(1+S1)(1+S2)...(1+Sn)/√(2n+1)
则f(n+1)/f(n)=(1+s(n+1))*√(2n+1)/√(2n+3)=(n+4)/(n+2)*(√(2n+1)/√(2n+3))>1
故f(n)为增,则n=1时,f(n)取得最小值f(1)=2/√3
故k<=2/√3
则-2sn-sn*s(n-1)+2s(n-1)=0 变形得1/sn-1/s(n-1)=1/2
故{1/sn}是首项为1/s1=1公差为1/2的等差数列
则1/sn=1+1/2(n-1)=(n+1)/2
故sn=2/(n+1)
则1+sn=(n+3)/(n+1)
使(1+S1)(1+S2)...(1+Sn)≥K根号2n+1恒成立
也即使(1+S1)(1+S2)...(1+Sn)/√(2n+1)≥K恒成立
故只需k不大于(1+S1)(1+S2)...(1+Sn)/√(2n+1)的最小值即可。
令f(n)=(1+S1)(1+S2)...(1+Sn)/√(2n+1)
则f(n+1)/f(n)=(1+s(n+1))*√(2n+1)/√(2n+3)=(n+4)/(n+2)*(√(2n+1)/√(2n+3))>1
故f(n)为增,则n=1时,f(n)取得最小值f(1)=2/√3
故k<=2/√3
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