Question

求证:(nC0)^2+(nC1)^2+...+(nCn)^2=(2n)!/n!*n!

Answer 1

此题采用构造组合问题的办法解答比较容易一点。
[c(n，0)]^2+[c(n，1)]^2+...+[c(n，n)]^2
=c（n，0）*c（n，n）+……+c（n，n）*c（n，0） ①
看到这个你应该能想到构造的办法吧。
比如在两堆各部相同的数（共2n个，每堆n个）里总共取n个元素出来，那么所有的取法当然可以用①式表示。
但是其实把两堆数合起来看，那么其实就是c（2n，n）种。
所以原来的等式是成立的。

Answer 2

(1+x)^(2n)=(1+x)^n*(1+x)^n
=(nC0+nC1x+nC2x^2+…+nCnx^n)*(nC0+nC1x+nC2x^2+…+nCnx^n)
=……+（nC0*nC(n-1)+nC1*nC(n-2)+…nC(n-1)*nC0)x^(n-1)+……
=……+（nC0*nC1+nC1*nC2+…+nC(n-1)*nCn)x^(n-1)+……
比较等式两边x^(n-1)项的系数即可得
nC0*nC1+nC1*nC2+…+nC(n-1)*nCn=（2n）C(n-1)
即nC0*nC1+nC1*nC2+…+nC(n-1)*nCn==(2n)!/((n-1)!*(n+1)!)

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看花了＝＝

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