Question

定义在R上的函数f(X)满足:f(m+n)=f(m)*f(n)(m,n∈R),且当x<0时,f(x)>1.求证:1对任意的x∈R,恒有f(X)>0,

2判断f(X)的单调性，并证明你的结论。
请写出过程。
请用抽象函数解行吗?

Answer 1

1证明：先证明f(0)≠0.假设f(0)=0，∵f(m+n)=f(m)×f(n)(m,n∈R),令m=-1，n=0，则f(-1)=f(-1)×f(0)=0，∵当x<0时,f(x)>1，∴f(-1)>1，这就产生了矛盾，∴f(0)≠0.令m=n=0，则f(0)=f(0)×f(0)，∵f(0)≠0，∴f(0)=1. 当x>0时，-x<0，令m=x，n=-x，则f(0)=f(x)×f(-x)=1，∵-x<0，f(-x)>1，∴f(x)>0，综上，对任意的x∈R,恒有f(X)>0。
2解：f(x)在R上是减函数。证明：设x1,x2∈R，且x1<x2，∵f(m+n)=f(m)×f(n)(m,n∈R),令m=x2，n=x1-x2，则f(x1)=f(x2)×f(x1-x2)，∵f(x2)>0，f(x1-x2)>1，∴f(x1)/f(x2)>1，∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在R上是减函数。

Answer 2

（1）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞1，函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1成立，令m=n=0，有f（0）=1，
再令m=x，n=-x，结合条件得到f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），即可求得结果；
（2）f（a2+a-5）＜2，即为f（a2+a-5）＜f（1），由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，a2+a-5＜1，解此不等式即得．解答：解：（1）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞1
∵函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1成立
∴令m=n=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1，
再令m=x，n=-x，则有f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，即f（0）=f（x）+f（-x）-1，
∴f（-x）=2-f（x），
∴f（-x1）=2-f（x1）
而f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）-1=f（x2）+2-f（x1）-1＞1，
即f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在R上为增函数；
（2）∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）-1=f（1）+f（1）+f（1）-2=3f（1）-2=4
∴f（1）=2．
∴f（a2+a-5）＜2，即为f（a2+a-5）＜f（1），
由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，a2+a-5＜1，即a2+a-6＜0，
∴-3＜a＜2
∴不等式f（a2+a-5）＜2的解集是{a|-3＜a＜2}