求解两道平面几何问题 70
2.如右图 在三角形ABC中，O为他的外心，H为他的垂心，连接OH交AB、BC于M、N，已知MH=ON求∠B的大小 展开
1.用完全四线形的调和性、三角形陪位中线的性质与判定及面积法进行证明。
证明：分3大步进行证明。
（第一步证AP是中线，第二步证△BQM∽△NCQ，第三步证AQ是陪位中线）
第一步，用∞表示无穷远点
完全四线形ABCMNP中，MN∩BC=∞故线束AB，AP，AN，A∞是调和线束
∴AP平分MN，即AP是△AMN的中线
第二步，圆内接四边形BMPQ中，∠CPQ是其外角，故∠CPQ=∠MBQ
圆C2中（就是△CPN的外接圆），∠CNQ=∠CPQ
∴∠CNQ=∠MBQ，同理∠BMQ=∠NCQ
∴△BMQ∽△NCQ，∴S△BMQ：S△CNQ=（BM：CN）²
第三步，记AQ与MN的交点为Q＇，则MQ＇：NQ＇=S△AMQ：S△ANQ
∵MN∥BC，∴AM：BM=AN：BN，
∴S△AMQ：S△BMQ=S△ANQ：S△CNQ
∴S△AMQ：S△ANQ=S△BMQ：S△CNQ=BM²：CN²
又∵MN∥BC，∴BM：CN=AM：AN
∴MQ＇：NQ＇= BM²：CN²=AM²：AN²
∴AQ＇是△AMN的陪位中线
根据陪位中线的定义得，∠BAP=∠CAQ
第二题：遇到外心及三角形其它巧合点时，最好补出外接圆，根据这些巧合点与外接圆的关系证明。当然，必须了解很多定理。
证明：如图所示D为BC中点，AH交BC和○O分别为D＇，A＇，则OD⊥BC，AD＇⊥BC
∴ON：HN=OD：HD＇=（½AH）：（½A＇H）=AH：A＇H
∵ON=MH，∴MN：HN=AH：A＇H
∴△AMH∽△A＇NH（而且是位似图形），∴AM∥A＇N
由垂心性质，BC是A＇H的中垂线，∴HN=A＇N
∴AM=MH，∴∠BMN=2∠BAH=2（90°﹣B）=180°﹣2B
在△BMN中，∠BNM=B
对于点C有对应的结论，∠BMN=B
∴△BMN是正三角形，∴B=60°
这两个题需要不少知识，如果知道这些知识，这两个题并不是很难。
提问者心也太狠了。这种题根本远远超出竞赛范围，属于大学数学专业《初等平面几何研究》的范畴，，还弄了两题！建议分两次提问，悬赏增加到100分。
第二题的证明基本解决，先证明一个引理：
正题的证明：
△ABC中H为垂心，O为外心，
直线OH分别交AB、AC于Q、P，
QH=OP，求：∠A
证明：作高BE、CF(交于H)，
分别取AC、AB中点M、N，
连结OM，作直线ON交直线AC于， ∵O为△ABC外心，AM＝MC，AN＝NB，
∴OM⊥AC，ON⊥AB，
又H为△ABC垂心，BE、CF为高，
由引例OM=BH/2，ON=CH/2，
且BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ACF=90°-∠A=∠ABE，CF//NT
∴Rt△BFH≅Rt△MO，
∴BH/FH=O/MO，
∵CF//N，HQ=OP，OQ=HP，
∴HF/NO=QH/NO=PO/PH=O/HC，
又ON=CH/2，∴2HF=O，
∵BH/FH=O/MO，OM=BH/2，
∴BH^2=4FH^2，BH=2FH，
∵∠HFQ＝Rt∠，
∴∠ABH=30°，∠A=60°.
继续等结果……
三角形内角和不是180度！
1980年，陈教授在北京大学的一次讲学中语惊四座：
“人们常说，三角形内角和等于180度。但是，这是不对的!”
大家愕然。怎么回事?三角形内角和是180度，这不是数学常识吗?
接着，这位老教授对大家的疑问作了精辟的解答：
说“三角形内角和为180度”不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应当说“三角形外角和是360度”!
把眼光盯住内角，只能看到：
三角形内角和是180度；
四边形内角和是360度；
五边形内角和是540度；
……
n边形内角和是(n—2)X180度。
这就找到了一个计算内角和的公式。公式里
出现了边数n。
如果看外角呢?
三角形的外角和是360度；
四边形的外角和是360度；
五边形的外角和是360度；
……
任意n边形外角和都是360度。
这就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来了。用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律。
