Question

设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为

f(x,y)=k(6-x-y) 0<x<2， 2<y<4
0 其它
求k
麻烦重点讲下积分啊 我算出来跟答案不一样 不知道哪里错了 谢啦

Answer 1

密度函数在其定义域上两重积分值为1，由题意知：该密度函数在矩形区域 0<x<2， 2<y<4有值，而其他区域为零，且k为常数，则：只在0<x<2， 2<y<4。

例如：

A=6，fX(x)=3e^-(3x)，x>0，时，0，其它时

f Y( y)=2e^-(2y)，y>0时，0；其它时

f (x, y)=f X(x)*f Y( y)，独立

P{ 0<X≤1，0<Y≤2}=（1-1/e^3）（1-1/e^4）

含义

由于随机变量X的取值只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。

Answer 2

根据定义做，密度函数在其定义域上两重积分值为1，由题意知：该密度函数在矩形区域 0<x<2， 2<y<4有值，而其他区域为零，且k为常数，则：只在0<x<2， 2<y<4
积分即可，如下图：

算出k=1/8.

Answer 3

根据定义做，密度函数在其定义域上两重积分值为1，由题意知：该密度函数在矩形区域 0<x<2， 2<y<4有值，而其他区域为零，且k为常数，则：只在0<x<2， 2<y<4