Question

高中数学题，关于圆切线的？？

已知圆O:x^2+y^2=2,直线L:y=kx-2
当k=1/2时,过直线上一动点P作圆的两条切线,切点分别为C,D,连接C,D.试探究直线CD是否过定点。
答案是这样的设切点C,D （x1，y1）（ x2，y2）P（x0，y0）则过切点C的切线方程为xx1+yy1=2 这怎么解释？？？

Answer 1

这是一个圆锥曲线的结论，不仅是圆，其他圆锥曲线也满足：
圆x^2+y^2=R^2在圆上一点P（x0，y0）处的切线方程是x0x+y0y=R^2，
更广义：(x-a)^2+(y-b)^2=R^2在圆上一点P（x0，y0）处的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R^2 ，其他圆锥曲线类似。
原理很简单，就是基本的求切线方法，只是结果具有这个简化形式而已。
P（x0，y0）在x^2+y^2=R^2上，所以x0^2+y0^2=R^2，…………………………(1)
又过P且切线与直线PO垂直，即K=-x0/yo,切线为y-y0==-x0/yo(x-x0)…………(2)
由（1）、（2）化简就是这个结果x0x+y0y=R^2，了。

Answer 2

设平面直角坐标系原点为O，由题有“过切点C的切线”与直线OC垂直。即两条直线的斜率乘积为-1。
有直线OC斜率为（y1/x1），故过切点C的切线斜率为-（x1/y1)，又因为该切线过C点
因此根据点斜式可化简得过切点C的切线为xx1+yy1=2。
一般的，过圆x^2+y^2=r^2上的一点（x0，y0）作切线，我们有其切线方程xx0+yy0=r^2。
希望能帮到你。

追问

为什么过C,D的直线方程为xx0+yy0=2？？？顺便讲一下，谢谢~

Answer 3

用向量解释：
设M(x,y)是切线上任一点，向量CM=(x-x1,y-y1);
向量OC=(x1,y1)
向量CM⊥向量OC
(x-x1,y-y1)*(x1,y1)=0
x1x+yy1=x1^2+y1^2=2

追问

为什么过C,D的直线方程为xx0+yy0=2？？？顺便讲一下，谢谢~

追答

为什么过C,D的直线方程为xx0+yy0=2？？？
这叫切点弦方程，很绕人的，请你看慢一点，一遍可能读不懂，多读几遍；
以上切线CP0:x1x+yy1=2 因为P0∈;P0C
所以，x1x0+y1y0=2,(难点启动）
它说明了点(x1,y1)在某条直线 l(某)：x0x+y0y=2上①
（这条线就是切点弦方程）
同理： 切线 DP0: x2x+y2y=2因为P0(x0,y0) 也在切线上
所以，x2x0+y2y0=2它同样说明了点(x2,y2)与在某条直线 l(某)：x0x+y0y=2上②
（冲刺：）①②的意思是：
直线x0x+y0y=2说明它既过C点，又过D 点，而两是唯一确定一条直线，过两的直线就是这条直线本身，所以切点弦方程为：x0x+y0y=2上
估计要看五遍，才能真正的的看懂，
我的对话框可能没有了，下次如果要追问的话，我只能在评论中回答了，请留意；