Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=1/2AB，P是边AC上的一个点，AP=1/2PD，∠APD=∠ABC

联结DC并延长交边AB的延长线于点E
（1）求证：AD//BC
（2）设AP=，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域
（3）联结BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由
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Answer 1

1.DP:AP=AB:BC,所以DP:AB=AP：BC,又因为∠APD=∠ABC,所以△APD相似于△CBA，所以角DAP=角ACB，又因为角CAB+角ACB+角CBA=180，所以角CAB+角DAP+角CBA=180，即角DAB+角CBA=180,所以AD//BC
2.易证，BE:AE=BC:AD,所以y:4+y=2:2x,所以解析式为y=4/(x-1),其中1<x<=4
3.△CDP与△CBE不可能相似，应该是△CPD与△CBE相似
当△CPD与△CBE相似时，有CP:CB=PD:BE,所以有（4-x）/2=4/y,又因为y=4/(x-1)，所以可解得x=2，y=4
所以AP=2，AE=8，所以有AP:AC=2:4=1:2，AB:AE=4:8=1:2，所以AP:AC=AB:AE,又因为角PAB=角CAE,所以△PAB与△CAE相似，所以有角APB=角ACE,所以BP与CE平行，即BP与DE平行

Answer 2

(1)证明:∵BC/AB=2/4=1/2;AP/PD=1/2.
∴BC/AB=AP/PD;又∠ABC=∠APD.
∴⊿ABC∽⊿DPA,∠ACB=∠DAP.
故AD∥BC.(内错角相等,两直线平行)
(2)解:⊿ABC∽⊿DPA(已证),AB=AC,则DP=DA.
AP=X,则DP=DA=2X.
∵BC∥AD(已证).
∴BC/DA=EB/EA,即2/(2X)=y/(y+4), y=4/(x-1).
定义域为: 1<x≤4.
(3)当△CDP与△CBE相似时,BP∥DE.
证明:∵∠DPA=∠ABC(相似三角形对应角相等);
∴∠DPC=∠EBC(等角的补角相等).
又∠DCP>∠CEB(三角形外角的性质);
若⊿CDP与⊿CBE相似,则有∠DCP=∠BCE.
∵BC∥AD(已证).
∴∠ADC=∠BCE=DCP,得AD=AC=4.
故⊿ABC≌⊿DPA,AP=CB=2,PC=2.
∵BC/AD=EB/EA,即2/4=BE/(BE+4),BE=4.
∴PB为⊿AEC的中位线,得PB∥DE.