Question

在三角形ABC中，abc分别是ABC的对边长，已知根号2sinA=根号（3cosA）

（1）若a^2-c^2=b^2-mbc，求实数m的值
（2）若a=根号3，求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

因为根号2sinA=根号（3cosA）
所以2sin²A=3cosA=2-2cos²A
2cos²A+3cosA-2=0
解得cosA=1/2 (cosA=-2 ＜-1，舍去)
所以，根据余弦定理
cosA=（b²+c²-a²）/2bc=1/2
结合a^2-c^2=b^2-mbc
解得 m=1

追问

第（2）题呢？

追答

第（2）题
因为cosA=1/2
所以A=60°,B+C=120°
所以sinA=√3/2
又a=根号3
所以设k=a/sinA=√3/√3/2 =2
所以根据正弦定理得
b=ksinB=2sinB
c=ksinC=2sinC
所以三角形ABC面积
S△ABC=bcsinA/2=(2sinB)*(2sinC)*(√3/2 )/2
=√3sinB*sinC
=√3{[cos(B-C)-cos(B+C)] /2} ——积化和差公式
=(√3/2)cos(B-C)-(√3/2)cos120°
=(√3/2)cos(B-C)+√3/4
显然当B-C=0 即B=C时 S△ABC取得最大值
最大值为 √3/2+√3/4=3√3/4