Question

已知集合A=﹛y／y=x²＋2x＋4，x∈R﹜，B=﹛z／z=ax²－2x＋4a，x∈R﹜，若A含于B

求实数a的取值范围

Answer 1

解：集合A=﹛y／y=x²＋2x＋4，x∈R﹜研究对象是函数y=x²＋2x＋4的值域
又∵y=x²＋2x＋4=(x+1)²+3≥3
∴A=[3,+∞)
集合B=﹛z／z=ax²－2x＋4a，x∈R﹜研究对象是函数z=ax²－2x＋4a的值域
又①当a=0时 z=-2x 的值域为R
显然集合A包含于B
②当a≠0时 由A包含于B可知 a＞0
函数z=ax²－2x＋4a
=a(x-1/a)²-1/a+4a≥4a-1/a
即B=[4a-1/a,+∞)
∵A包含于B
∴4a-1/a≤3 解得 -1/4≤a≤1
综上可得0≤a≤1.

Answer 2

解：我们先求y的取值范围
解方程y=x²＋2x＋4求出y的取值范围为【3，+∞）
在求B
当a=0时 z=-2x x∈R z的取值范围为（-∞，+∞） A含于B
当a＜0时 z的开口向下存在最大值所以A不含于B
当a＞0时 想让A含于B，就需要z的最小值小于等于3
z的最小值为4a-1/a 需要4a-1/a≤3
解得-1/4≤a≤1 由于条件a＞0 所以a的取值范围为0＜a≤1
综上所述a的取值范围为0≤a≤1

Answer 3

集合A=﹛y／y=x²＋2x＋4，x∈R﹜,y=x²＋2x＋4=(x+1)²+3≥3,A=[3,+∞)
集合B=﹛z／z=ax²－2x＋4a，x∈R﹜,z=ax²－2x＋4a,①当a=0时 z=-2x 的值域为R
显然集合A包含于B
②当a≠0时 由A包含于B可知 a＞0
函数z=ax²－2x＋4a=a(x-1/a)²-1/a+4a≥4a-1/a
B=[4a-1/a,+∞)
因为A包含于B
所以4a-1/a≤3 ， -1/4≤a≤1
综上，0≤a≤1.