Question

已知函数f(x)=e^x-x(e为自然对数的底数）。（1）求f(x)的最小值

（2）设不等式f(x)>ax的解集为P,且{x|0<=x<=2}含于P，求实数a的取值范围

Answer 1

解：(1)f'(x)=e^x-1 当x=0时，f'(x)=0
当x>0时，f'(x)>0 为增
当x<0时，f'(x)<0 为减
故x=0是f(x)的极小值点，也是最小值点，则f(x)的最小值为f(0)=1
(2）所求问题可转化为0<=x<=2时，f(x)>ax恒成立,当x=0时，显然成立，当0<x<=2
时，则有a<(e^x-x)/x 故只需满足a小于(e^x-x)/x最小值即可
令g(x)=(e^x-x)/x 则g'(x)=e^x*(x-1)/x^2
则当x=1时，g'(x)=0
当0<x<1时，g'(x)<0
当1<x<=2时，g'(x)>0
故当x=1时，g(x)取得最小值为g(x)=e-1
综上所述，a<e-1

Answer 2

f'(x)=e^x-1=0
x=0
则x<0，f'(x)<0，递减
x>0,f'(x)>0，递增
所以x=0是极小值点
显然也是最小值点
所以最小值是f(0)=1

Answer 3

解： （1）对f(x)求导，并且令 f ‘(x)=0= e^x-1
解得：x=0 当x<0时，f ‘(x)<0; 当x>0 ，f ‘(x)>0
所以 f(x)在x=0的时候取最小值， f(x)min=1

（2）即求 f(x)-ax>0，e^x>(a+1)x 分别令g(x)=e^x ，h(x)=(a+1)x（将a+1看做是斜率）
用图解法，0<=x<=2是一个必要条件，就是说h(x)在x=2的地方，一定要低于g(x)
所以解得此时 a<e^2/2-1 二分之 e的平方 减一

Answer 4

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/9a955b29-9614-4063-aabe-812f811e2e28

里面有答案