Question

设实数x,y满足线性约束条件x+y≤3 x-y≥1 y≥0

求目标函数q=(x-2)^2+(y+1)^2的取值范围
求目标函数k=y+1/x-2的取值范围

Answer 1

作出满足：①x＋y≤3、②x－y≥1、③y≥0所表示的可行域。【这个可行域是以A(0，3)、B(0，1)、C(2，1)为顶点的三角形区域】

(1)设：m=√[(x－2)²＋(y＋1)²]，则m就表示点Q(2，－1)与区域内的点(x，y)之间的距离，结合图形，得：m的最大值是QA=√20，m的最小值是点Q到线段BC的距离d=√2，则：q∈[2，20]

(2)k=(y＋1)/(x－2)：k就表示点Q与区域内的点之间的连线的斜率，得：k的最大值是QB的斜率－1，则：k∈(－∞，－1]

追问

为什么k的min为－∞？

追答

因为QC与x轴垂直的，也就是说，可行域中最右边的点与点Q的连线与x轴垂直，往左的话斜率就是负的了，所以是k≤－1

追问

错了 ABC的坐标都错了

追答

作出满足：①x＋y≤3、②x－y≥1、③y≥0所表示的可行域。【这个可行域是以A(3，0)、B(1，0)、C(2，1)为顶点的三角形区域】

(1)设：m=√[(x－2)²＋(y＋1)²]，则m就表示点Q(2，－1)与区域内的点(x，y)之间的距离，结合图形，得：m的最大值是QC=2，m的最小值是点Q到线段AB的距离d=1，则：q∈[1，4]

(2)k=(y＋1)/(x－2)：k就表示点Q与区域内的点之间的连线的斜率，得：k的负的最大值是QB的斜率－1，k的正的最小值是的QA斜率1，则：k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)

追问

为什么 k不能取中间？

追答

？？

Answer 2

可行域为三角形ABC，

（1）目标函数q=(x-2)²+(y+1)²为点Q(2,-1)到可行域内点的距离的平方，

由于QABC是正方形，从而最短距离为|QA|=√2，最长距离为|QC|=2，

所以 2≤q≤4

（2）目标函数k=(y+1)/(x-2)是经过点(2,-1)和可行域内一点的直线的斜率，因为QB的斜率为1，

QA的斜率为-1，从而k的取值范围是 k≤-1或k≥1

追问

为什么不能取中间？