Question

已知关于x的方程x^2-(a+b)x+(ac+bc)/2=0,∠a,∠b,∠c分别为锐角△ABC中的对边。

（1）.若x1,x2,是方程的两个实数根，且（x1-x2)^2=a^2,又b=2，c=3/2，求a的长。
（2）.若a=2c-b,且原方程与方程4x^2-6cx-4c^2(sinA-1)=0有一个相同的根，求sinC/sinB的值。

Answer 1

(1)
x²-(a+b)x+(ac+bc)/2=0
由韦达定理得：
x1+x2=a+b
x1x2=(ac+bc)/2
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2
=(a+b)²-2c(a+b)
=(a+b)(a+b-2c)
=(a+2)(a+2-2*3/2)=(a+2)(a-1)
=a²+a-2=a²
a-2=0
a=2
(2)
把a=2c-b代入方程x²-(a+b)x+(ac+bc)/2=0,得
x²-2cx+c²=0
(x-c)²=0.
所以该方程的解为
x1=x2=c
原方程与方程4x²-6cx-4c²(sinA-1)=0有一个相同的根。
故x=c也是方程4x²-6cx-4c²(sinA-1)=0的其中一个解，
4c²-6c²-4c²(sinA-1)=0
c²[4-6-4(sinA-1)]=c²(2-4sinA)=0
又c是三角形ABC的一边，故c≠0，
2-4sinA=0,
sinA=1/2
而∠A是在锐角三角形ABC中的，故∠A为锐角，
∠A=30度。
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(√3)/2…………（1）
a=2c-b代入（1）得
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=2-(3/2)*(c/b)=(√3)/2
所以c/b=(4-√3)/3
即sinC/sinB=(4-√3)/3