Question

用定积分推出椭球体积

V=∫(-a->a)П[(b/a)*√(a^2-x^2)]^2 dx是怎么得到的

Answer 1

如下：

V = 2∫(a,0) πb²(1-x²/a²)dx

= 2πb²[∫(a,0) dx - 1/a² ∫(a,0)x²dx]

= 2πb²(a - a/3)

= 4πab²/3

即：椭球的体积：V = 4πab²/3。

当 a=b=R 时，V = 4πab²/3 = 4πR³/3

就是球的体积。

椭球基本信息：

如果三个半径都是相等的，那么就是一个球；如果有两个半径是相等的，则是一个类球面。

a=b=c 球；

a=b>c 扁球面（形状类似圆盘）。

a=b<c 长球面（形状类似雪茄，有两个焦点，从其中一个焦点发出的光，经椭球内面反射后，光线都会聚于另一个焦点上，从椭球外射向椭球的其中一个焦点的光，经椭球外面反射后，光线的反向延长线都会聚于椭球的另一个焦点上）。

a>b>c 不等边椭球（“三条边都不相等”）。

点(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。从原点到这三个点的线段，称为椭球的半主轴。它们与椭圆的半长轴和半短轴相对应。

Answer 2

V = 2∫(a,0) πb²(1-x²/a²)dx
= 2πb²[∫(a,0) dx - 1/a² ∫(a,0)x²dx]
= 2πb²(a - a/3)
= 4πab²/3
即：椭球的体积：V = 4πab²/3
当 a=b=R 时，
V = 4πab²/3 = 4πR³/3
就是球的体积。

追问

第一步积分号内是什么意思

追答

πy^2=b^2 π(1-x^2/a^2) ，y 曲线绕x轴一圈的旋转体面积，乘dx小体积，积分，2倍即椭球体积。

Answer 3

x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1
V=π∫[-c,c]ab/c^2*(c^2-z^2)dz

追问

z是什么，哪来的z^2/c^2

追答

椭球的表达式中有z,这里z是积分变量，对z的定积分