Question

根据函数单调性的定义证明函数f（x）=2／x-1（x属于[2，6]）是递减函数并求出函数的最大最小值

Answer 1

令2≤x1≤x2≤6
f(x2)-f(x1)=2/(x2-1)-2/(x1-1)=2[(x1-1)-(x2-1)] / [(x2-1)(x1-1)] = 2(x1-x2) / [(x2-1)(x1-1)]
∵2≤x1≤x2≤6
∴x1-x2＜0，x2-1＞0，x1-1＞0
∴f(x2)-f(x1) = 2(x1-x2) / [(x2-1)(x1-1)] ＜ 0
∴f(x) = 2/(x-1)（x属于[2，6]）是递减函数
最大值f(2)=2/(2-1)=2
最小值f(6)=2/(6-1)=2/5

Answer 2

证明：
设2≤x1＜x2≤6,
f(x1)-f(x2)
=2/(x1-1)-2/(x2-1)
=2(x2-x1)/(x1-1)(x2-1)
由于2≤x1＜x2≤6，(x2-x1)＞0,(x1-1)＜0,(x2-1)＜0.
所以f(x1)-f(x2)＞0
即f(x1)＞f(x2)，f(x)为减函数。
因此当x=2时函数取得最大值f(2)=2/(2-1)=2.
当x=6时函数取得最小值f(6)=2/(2-6)=-1/2.