Question

已知函数f{x}=bx+c/ax^2+1[a,b,c∈R,a>1]是奇函数,若f{x}的最大值为1/2,且f{1}=2/

已知函数f{x}=bx+c/ax^2+1[a,b,c∈R,a>1]是奇函数,若f{x}的最大值为1/2,且f{1}=2/5，则a+b+c的值是？

Answer 1

函数f{x}=bx+c/ax^2+1[a,b,c∈R,a>1]是奇函数,

所以
c=0
f(x)=bx/(ax²+1)
f(1)=2/5
b/(a+1)=2/5
5b=2a+2
f(x)=b/(ax+1/x)
当ax=1/x 时
即x=1/√a时取最大值1/2
1/2=1/5(2a+2)/[√a(1+1)]
21a²-8a-4=0
(3a-2)(7a+2)=0
a=2/3
所以
b=(2a+2)/5=(4/3+2)/5=2/3
即
a+b+c=2/3+2/3+0=4/3.

本题中a>0而不是a>1.

追问

1/2=1/5(2a+2)/[√a(1+1)],这一步是怎么得到的

追答

x=1/√a代入f{x}=bx+c/ax^2+1
此时b=(2a+2)/5
f(x)=1/2

Answer 2

∵函数f{x}=bx+c/ax^2+1[a,b,c∈R,a>1]是奇函数,
∴c=0
∴f(x)=bx/(ax²+1)
∵f(1)=2/5
∴b/(a+1)=2/5
即5b=2a+2
f(x)=b/(ax+1/x)
当ax=1/x 即ax²=1亦即x=1／√a时
取最大值1/2
即1/2=1/5·(2a+2)/[√a（1+1）]
2a-5√a+2=0
√a=1／2或√a=2
即a=1／4（舍去）或a=4
∴a=4
b=(2a+2)/5=2
∴a+b+c=4+2+0=6