Question

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图①中，点P是边BC的中点，由S△ABP+S△ACP=S△ABC得，12 AB．h1+1 2 AC．h2=1 2 BC．h，可得h1+h2=h又因为h3=0，所以：h1+h2+h3=h．图②～⑤中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．（1）请探究：图②～⑤中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）（2）说明图②所得结论为什么是正确的；（3）说明图⑤所得结论为什么是正确的．

Answer 1

(1)
②h1+h2=h (h3=0)
③h1-h2=h (h3=0)
④h1+h2+h3=h
⑤h1+h2-h3=h
(2)
连结AP，
∵S△ABC=BC*h/2,
S△ABC=S△APB+S△ACP=AB*h1/2+AC*h2/2
又∵AB=BC=CA，
∴BC*h/2=BC*h1/2+BC*h2/2
∴h1+h2=h
（3）
连结PB、PA、PC，
由S四边形ABPC=S△ABC+S△BCP=S△ABP+S△ACP
得BC*h/2+BC*h3/2=AB*h1/2+AC*h2 /2
又∵AB=BC=CA，
∴h+h3=h1+h2
即h1+h2-h3=h .

Answer 2

asdf