Question

设向量m=(cosx,sinx),n=(2根号2+sinx,2根号2-cosx)，若f(x)=m*n

(1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(2x)的单调递增区间；[要完整解题过程，谢谢 ]

Answer 1

解：
f(x)＝m•n＝cosx(2√2＋sinx)＋sinx(2√2－cosx)＝2√2cosx＋2√2sinx＋sinxcosx－sinxcosx＝2√2•(cosx＋sinx)＝2√2•√2sin(x＋π/4)＝4sin(x＋π/4)
⑴
f(x)的最小正周期T＝2π/ω＝2π/1＝2π
⑵
f(2x)＝4sin(2x＋π/4)
令－π/2＋2kπ≤2x＋π/4≤π/2＋2kπ
得－3π/8＋kπ ≤ x ≤ π/8＋kπ
故f(2x)的单调递增区间为[－3π/8＋kπ，π/8＋kπ].

Answer 2

m=(cosx,sinx),n=(2根号2+sinx,2根号2-cosx)，
f(x)=mn=cosx(2根号2+sinx)+sinx(2根号2-cosx)
=cosx*2根号2+cosxsinx+sinx*2根号2-sinxcosx
=2根号2(sinx+cosx)
=2根号2*根号2(根号2/2sinx+根号2/2cosx)
=4(sinxcospai/4+cosxsinpai/4)
=4sin(x+pai/4)
T=2pai/1=2pai

f(2x)=4sin(2x+pai/4)
当2x+pai/4E[2kpai-pai/2,2kpai+pai/2]时为增,即:
2xE[2kpai-3pai/4,2kpai+pai/4]
即xE[kpai-3pai/8,kpai+pai/8]为增的.
当2x+pai/4E(2kpai+pai/2,2kpai+3pai/2)为减
即:xE(kpai+pai/8,kpai+5pai/8)为减的.
递增区间为:[kpai-3pai/8,kpai+pai/8]

Answer 3

m*n=cosx(2√2+sinx)+sinx(2√2-cosx)
=2√2cosx+cosxsinx+2√2sinx-sinxcosx
=2√2sinx+2√2cosx
=4(√2/2sinx+√2/2cosx)
=4sin(x+π/4)
w=1,T=2π/w=2π
f(x)=4sin(x+π/4)
(2)
f(x)=4sin(x+π/4)
f(2x)=4sin(2x+π/4)
函数f(2x)可拆成：
y=2sint
t=2x+π/4
因为sint的单调增区间是：
-π/2+2kπ≤t≤π/2+2kπ
即
-π/2+2kπ≤2x+π/4≤π/2+2kπ==>
-3π/8+kπ≤x≤π/8+kπ
所以原函数的单调增区间是：
【-3π/8+kπ，π/8+kπ】

Answer 4

（1）解：f(x)=m*n
=(cosx,sinx)*(2跟号2+sinx,2根号2-cosx)
=cosx*（2根号2+sinx)+sinx*(2根号2-cosx)
=2根号2*cosx+sinx*cosx+2根号2*sinx-sinx*cosx
=2根号2*cosx+2根号2*sinx
=2根号2*（cosx+sinx)
=4(根号2/2*cosx+根号2/2*sinx) 【这里提取了公因数根号2】
=4sin(x+π/4）

∴f(x)的最小正周期T=2π/w=2π

（2）∴f(2x)=4sin(2x+π/4）
单调递增：-π/2+2kπ≤2x+π/4≤π/2+2kπ （k∈R）
解得：-3/8π+kπ≤x≤π/8+kπ （k∈R）
∴f(2x)的单调递增区间为
[-3/8π+kπ，π/8+kπ] (k∈R)