Question

等价无穷小的必要充分条件中β=α+o(α)，里面的o(α)是什么意思，是不是一个函数？是不是无穷小？

等价无穷小的必要充分条件中β=α+o(α)，里面的o(α)是什么意思，是不是一个函数？是不是无穷小？麻烦大师详细解释一下，最好紧扣定义。我是高二学生。正在自学微积分。希望一次学好。麻烦老师们，谢谢

Answer 1

o(α)的意思是高阶无穷小，通俗解释就是o(α)比α更快速地趋近于0，比如1/x，1/x²和1/x³
当x趋近于无穷时，可以看到三者都是趋近于0的无穷小，但是很明显1/x³比1/x²更快趋近于0，而1/x²又必1/x更快，因此，1/x²和1/x³都是1/x的高阶无穷小，而1/x³又是比1/x²更高阶的无穷小。
1/x²和1/x³都是1/x的高阶无穷小记作1/x²=o(1/x)，1/x³=o(1/x)。1/x³是1/x²的高阶无穷小，则记作1/x³=o(1/x²)。
高阶无穷小的定义，当两个无穷小量比值的极限limf(x)/g(x)=0时，则有f(x)=o(g(x))
等价无穷小是当变量趋向于某一值时，两个无穷小函数f(x)和g(x)比值的极限等于1，即
limf(x)/g(x)=1
若f(x)=g(x)+o(g(x))
则有
limf(x)/g(x)=lim[g(x)+o(g(x))]/g(x)=lim[1+o(g(x))/g(x)]=1

Answer 2

其实就是一个高阶无穷小罢了，呵呵~高二就自学微积分啦，不错，可以理解为是一个函数数，那个函数数趋于0就可以了~

Answer 3

o(α)是比α高一阶的无穷小，也即是lim o(α)/α =0