Question

已知二次函数y=x2+ax+a-2

（1）证明：不论a取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方；
（2）设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由．
（3）在第二小题的条件下，有设抛物线与X轴的交点之一为点A，则能使三角形ACD的面积等于四分之一的抛物线有几条？请证明你的结论。
必须答出第三小题

Answer 1

(1)y=x^2+ax+a-2=(x+a/2)^2+a-2-a^2/4=(x+a/2)^2-(a/2-1)^2-1,显然不论a取何值，-(a/2-1)^2-1<0,所以抛物线y=x^2+ax+a-2的顶点Q点总在x轴的下方。
(2)抛物线y=x^2+ax+a-2的对称轴为x=-a/2,最小值为a-2-a^2/4,与y轴的交点C的坐标为(0,a-2),由题意可知，D点是C点关于对称轴x=-a/2的对称点，因此D(-a,a-2),
要使△QCD为等边三角形，则须有|a-2-a^2/4-(a-2)|=√3*|0-(-a/2)|,
从而有|a^2/4|=√3*|a/2|,得|a|=0,或|a|=2√3,
于是a=0或a=±2√3.而a=0时，Q、C、D三点重合，不为三角形；
所以，a=±2√3,相应的二次函数解析式为
y=x^2+2√3x+2√3-2或y=x^2-2√3x-2√3-2.
(3)你自己去做吧，打的太累了，没用公式编辑了。
也是先把A点坐标用含a的代数式表出，然后求出过点A、D的直线的解析式，
再求出该直线与y轴交点的坐标，你自己看图就知道怎么做了，也是解方程，求出a。

Answer 2

（1）证明：将x=-a/2代入方程y=x²+ax+a-2,可得顶点纵坐标为[4(a-2)-a²]/4=-[(a-2)²+4]/4<0
所以顶点Q总在X轴下方。
（2）解：可以，根据二次函数的对称性，易得CQ=DQ，则要使△QCD为等边三角形，令CD=DQ即可；
据题，Q，C，D坐标分别为Q(-a/2, (-a²+4a-8)/4 ), C(0,a-2),D(-a,a-2),
则可得DC= |a| , QC=√{(-a/2-0)²+[(-a²+4a-8)/4 -(a-2)]²}=√[a²/4 *(1+ a²/4)],
令DC=QC得a= ± 2√15,
则所求相应的二次函数解析式为y=x²+2√15x+2√15-2或y=x²-2√15x-2√15-2
（3）据题，令△ACD的面积=|a|*|a-2|/2=1/4，可得2|a²-2a|=1，可解得a有四个解为a=(2± √2)/2或a=(2± √6)/2，则有四条满足题意的抛物线

有问题请追问，纯手打望采纳~

追问

第二小题错了，希望修改一下

追答

呵呵，这样都错？我抄上面老兄的答案了，是数据算错了吗？你就看看思路吧

Answer 3

y=x²+ax+a-2,定点纵坐标yQ=[4(a-2)-a²]/4=-[(a-2)²+4]/4<0
所以Q总在X轴下方。

点C就是取x=0时，纵坐标yC=a-2,将y=a-2代入函数得x²+ax=0，解得D点横坐标xD=-a.
由图像易知QD=QC,要等边△，只需要证明DC=QC就行，
Q(-a/2, (-a²+4a-8)/4 ), C(0,a-2),D(-a,a-2),
DC= |a| , QC=√{(-a/2-0)²+[(-a²+4a-8)/4 -(a-2)]²}=√[a²/4 *(1+ a²/4)],
令DC=QC得a= ± 2√15,
y=x²±2√15x±2√15-2,

DC= |a|= 2√15, S△ACD=1/2 *DC*|yC|=1/2 *2√15*|± 2√15-2|
不可能取到1/4。
不满足第二题时，S=1/2 *|a|*|a-2|=1/4,可以求出4个解。

追问

第二，三小题都错了，望修改一下

Answer 4

（2）解：可以，根据二次函数的对称性，易得CQ=DQ，则要使△QCD为等边三角形，令CD=DQ即可；
据题，Q，C，D坐标分别为Q(-a/2, (-a²+4a-8)/4 ), C(0,a-2),D(-a,a-2),
则可得DC= |a| , QC=√{(-a/2-0)²+[(-a²+4a-8)/4 -(a-2)]²}=√[a²/4 *(1+ a²/4)],
令DC=QC得a= ± 2√3

则所求相应的二次函数解析式为y=x²+2√3x+2√3-2或y=x²-2√3x-2√3-2