Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1、
B点位置可以直接给出
B=（√3,1）
2、
可以确定Q点位于AP中垂线上，且距离AP中点D√3/2倍AP长度
设P点坐标为（-2m，0）
则AP斜率=1/m
所以QD直线的斜率为-m
而D点坐标为D（-m，1）
所以QD直线方程为
y-1=-m(x+m)
y=-mx-m^2+1
|AP|^2=4(1+m^2)
|QD|^2=(x+m)^2+(mx+m^2)^2
又3/4|AP|^2=|QD|^2
所以
3(1+m^2)=x^2+m^2+2mx+m^2x^2+m^4+2m^3x
3(1+m^2)=x^2(1+m^2)+2mx(1+m^2)+m^2(1+m^2)
1+m^2!=0
所以
3=x^2+2mx+m^2
即
(x+m)=√3
x=√3-m (易判断出Q的横坐标x随着m的增大而减小到负值)
所以Q（√3-m，1-2√3m）
所以QB斜率为
（2√3m）/（m）=2√3
所以QB斜率为定值，所以QB为直线，所以<ABQ为定值
3、
已知QB斜率为2√3，若APQB为梯形，则必然是AP与QB平行，
所以1/m=2√3
m=√3/6
所以P为（-√3/3,0)
貌似好像AB还可以和PQ平行哈，此时的话
AB斜率为-√3/3
所以PQ斜率为-√3/3
即有<QPO=30，又由于<Q=60，所以AQ位于y轴上
所以Q(√3-m，1-2√3m)中，√3-m=0，即m=√3
所以P（-2m，0）为（-2√3，0）