Question

设函数f（x）=ax²+bx，且1<=f(-1)<=2,2<=f(1)<=4,求f（-2）的取值范围 我从知道上找到好几个过程

答案都不一样 哪个是对的 错的错在哪里？

过程一

f(-1)=a-b

f(1)=a+b

1<=a-b<=2 (1)

2<=a+b<=4 (2)

-1*(2)得：-4<=-a-b<=-2 (3)

(1)+(2)得：3<=2a<=6、6<=4a<=12 (4)

(1)+(3)得：-3<=-2b<=0 (5)

f(-2)=4a-2b

(4)+(5)得：3<=4a-2b<=12

所以，f(-2)的取值范围是：[3，12]。

过程2
f(-1)=a-b
f(1)=a+b

f(-2)=4a-2b=3(a-b)+(a+b)=3f(-1)+f(1)
3<=3f(-1)<=6
2<=f(1)<=4
所以5<=f(-2)<=10

过程3
f(x)=ax^2+bx且-1<=f(-1)<=2,2<=f(1)<=4,
则有
F(-1)=A-B
F(1)=A+B
即 -1<=A-B<=2 (1)
2<=A+B<=4 (2)
(1)+(2) ==> 1<=2A<=6 (3)
(1)*2+(3) -1 <=4A-2B<=10
F(-2)=4A-2B=2A+2(A-B)
所以 -1<=F(-2)<=10

过程4
1≤a-b≤2 ①,2≤a+b≤4 ②
f(-2)=4a-2b
①+② 3≤2a≤6 ,6≤4a≤12
①+(-②) -3≤-2b≤0 .
f(-2)=4a-2b,6≤f(-2)≤15

过程5
-1≤f(-1)≤2---->-1≤a-b≤2
2≤f(1)≤4------>2≤a+b≤4---->6≤3(a+b)≤12
f(-2)=4a-2b=3(a+b)+(a-b)
所以，
6-1≤f(-2)≤12+2
5≤f(-2)≤14

Answer 1

过程1是错的，过程3是错的，过程4也是错的，过程5是错的。过程2是对的。
做这种题要把题设中的不等式中间的式子看成整体，过程1，3，4 都单独的求出了a或者b的范围。单独求出a或者b的范围都是不对的，原因很简单，当a和b同时取最小值或者最大值的时候，并不满足题设的不等式条件。过程5是是把题设的4a-2b看错了。

Answer 2

过程2是对的……
f(-1)=a-b，f(1)=a+b
所以1≤a-b≤2，2≤a+b≤4
那么3≤3(a-b)≤6
而f(-2)=4a-2b=3(a-b)+(a+b)
所以3+2≤3(a-b)+(a+b)≤4+6
即5≤4a-2b≤10
所以5≤f(-2)≤10

追问

其他为啥错了

追答

其它的都不同程度的扩大了a和b的范围的
因为1≤a-b≤2，2≤a+b≤4
说明a和b之间是有联系的，不能单独算
像这种不等式应该尽量减少加减的次数