Question

若不等式x^2-2mx+2m+1>0,对0≤x≤1的所有实数x都成立，则m的取值范围

如题，不用函数图象的思想解，用恒成立的思想怎么解？

Answer 1

解：
用分离参数的方法:-)
不等式x^2－2mx＋2m＋1＞0在[0，1]上恒成立
则m＞(x^2＋1)/[2(x－1)]
只需m＞[(x^2＋1)/[2(x－1)]]max即可

设函数f(x)＝(x^2＋1)/[2(x－1)]，则函数f(x)＝(x^2＋1)/[2(x－1)]在区间[0，1]上是减函数
∴m＞f(x)max＝f(0)＝－1/2

故m的取值范围为(－1/2，＋∞).

追问

“
设函数f(x)＝(x^2＋1)/[2(x－1)]，则函数f(x)＝(x^2＋1)/[2(x－1)]在区间[0，1]上是减函数

”
能详细说一下吗

追答

嗯嗯，当然可以啦
你可以用导数求他的单调区间
亦或是用定义法证明它在[0，1]是减函数

定义法证明的话：
任取x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝【变形过程省略】…………＝……＞0
∴f(x1)＞f(x2)
∴…………是减函数

OK~~

追问

可不可以通过对分式进行变形改写成对勾函数？我是高一的导数方面的不太懂。。。

追答

嗯，高一的话用上面的定义法证明就可以了啊~~

上面的变形已经是最简的了，不能在变形成你需要的“对勾函数”，亲~~
~>_<~+

追问

我是想通过找到使该函数是最小值的x值从而判定该函数在【0,1】的单调性
我是这样变形的：
f(x)＝(x^2＋1)/[2(x－1)]=1/2*{(x^2-1)+2(x-1)+2}/(x-1)=1/2*{x-1+[2/(x-1)]+2}

追答

你这样变形错的吧~~

【1/2*{(x^2-1)+2(x-1)+2}/(x-1)=】这一步就错了~~

Answer 2

先由x^2-2mx+2m+1>0得：
x^2+1.>2m(x-1)
如果x=1对所有的m都成立，
如果x≠1,0≤x＜1
x^2+1>2m(x-1)
2m>(x^2+1)/(x-1)=[(x^2-x)+(x-1)+2)]/(x-1)=x+1+1/(x-1)=(x-1)+1/(x-1)+2
2m>x-1)+1/(x-1)+2
（-2m)<(1-x)+1/(1-x)-2=g(x)
g(x) ' = -1+1/(1-x)^2>0
所以g(x)在【0，1）上单调增
（-2m)恒小于右边，就是比它的最小值还要大，g(x)(min)=g(0)=0
所以-2m≤0==>m≥0
综合可知
m≥0

Answer 3

配方，x^2-2mx+2m+1=（x-m）^2-（m-1）^2 +2>0，设
y=（x-m）^2-（m-1）^2 +2

讨论
：
1.....m<0时，
（x-m）^2
在0≤x≤1上的最小值为（0-m）^2 ，y最小值=m ^2- （m-1）^2 +2=2m+1 >0，则-0.5<m<0
2.....0≤m≤1,易证，在0≤x≤1上y>0
3.....m>1时，（x-m）^2
在0≤x≤1上的最小值为（1-m）^2 ，
y最小值=
（1-m）^2 - （m-1）^2 +2=2>0.则m>1
综上所述，m的取值范围为 m>-0.5

好久没做数学题。。不知道做对没。