Question

数学题，动点

如图，在边长12cm的等边三角形中，动点P,Q同时从A，B两点出发，分别沿AB,BC方向匀速运动，点P运动速度为1cm/秒，点Q运动速度为2cm/秒，当Q到达C时，P，Q同时停止运动，设运动时间为t（秒）。
1、若四边形APQR的面积S，试求S与t的函数关系式；
2、作QR平行于BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，以A,P,R三点为定点的三角形和以P,R,Q为顶点的三角形相似？

Answer 1

（我以R是线段AC的中点算的，还有就是，单位我没有加上去）
解：1、由题意得
BP=12-t，BQ=2t，Q到线段BP的高为（根号3）t/2，
RC=6，QC=12-2t，QC=12-2t，Q到线段RC的高为（根号3）（6-t)
∴△BQP的面积为[（12-t）（根号3）t/4]
△QRC的面积为[3（根号3）（6-t)]
△ABC的面积为36根号3
S=36根号3-[（12-t）（根号3）t/4]-[3（根号3）（6-t)]
=(根号3）t^2/4-2（根号3）t+30根号3
∵Q点到达C点时，P、Q停止运动
∴t的取值范围为（0,，6）
（2）抱歉，我没有明白题目的意思

Answer 2

（1）由题意得
AP=t，BQ=2t，CQ=12-2t，
Q到线段BP的高h1=BQ*sinB=2t*（根号3）/2=（根号3）t，
由QR//AB知,四边形APQR为梯形，上底AP，下底RQ，高为h1；
由QR//AB知∠CQR=∠CRQ=60度，三角形CQR等边，RQ=CQ=12-2t。
故S=（t+12-2t)*（根号3）t/2=-(根号3)/2*t^2+6*（根号3）t。
验证：t=0时，P、R与A重合，Q与B重合，S=0，符合；
t=6时，P为AB中点，Q、R与C重合，S退化为三角形APC，面积为三角形ABC的一半，即18*（根号3），符合。
（2） 因为∠APR=∠PRQ，所以当三角形APR与三角形PRQ相似时应有，∠ARP=∠QPR或者∠ARP=∠PQR。
i)当∠ARP=∠QPR时，由于两个角为内错角，则有PQ//AR，从而BP=BQ，即
12-t=2t, 得t=3;
ii)当∠ARP=∠PQR时，有角A=∠RPQ=60°；不会做了。