Question

已知椭圆的中心在原点O 焦点在坐标轴上 直线y=x+1与该椭圆相交与P和Q

且OP⊥OQ 绝对值PQ=2分之根号10 求椭圆的方程

Answer 1

解:P(x1,y1), Q(x2,y2)
设椭圆方程: x＾2/a＾2+y＾2/b＾2=1
联立: y=x+1 x＾2/a＾2+y＾2/b＾2=1
(a＾2+b＾2)x＾2+2xa＾2+a＾2-(ab)＾2=0
x1+x2=-2a＾2/(a＾2+b＾2)
x1x2=[a＾2-(ab)＾2]/(a＾2+b＾2)
向量OP=(x1,y1), 向量OQ=(x2,y2),
OP垂直OQ
x1x2+y1y2=0 y1y2=x1x2+(x1+x2)+1
∴2x1x2+(x1+x2)+1=0 ....(1)
PQ=√{(1+1＾2)[(x1+x2) ＾2-4x1x2]}=(√10)/2
(x1+x2)＾2-4x1x2-5/4=0....(2)
联立: (1)(2)
x1+x2=-3/2 x1x2=1/4
or x1+x2=-1/2 x1x2=-1/4
x1+x2=-2a＾2/(a＾2+b＾2)=-3/2
x1x2=[a＾2-(ab)＾2]/(a＾2+b＾2)=1/4
a＾2=2 b＾2=2/3
或
x1+x2=-2a＾2/(a＾2+b＾2)=-1/2
x1x2=[a＾2-(ab)＾2]/(a＾2+b＾2)=-1/4
a＾2=2/3 b＾2=2

∴ (x＾2/2)+(3y＾2/2)=1
或 (3x＾2/2)+(y＾2/2)=1