Question

已知二次函数y=x^2-mx+m-2.

已知二次函数y=x^2-mx+m-2.
无论m为何实数值时，，函数的图像总与x轴有交点。
当m为何实数值时，这两个交点间的距离最小？最小距离是多少？

Answer 1

解：（1）二次函数y=x²-mx+m-2的图像总与x轴有交点
即方程x²-mx+m-2=0恒有实数根
∵△=m²-4(m-2)=m²-4m+8≥4
∴无论m为何实数值时，函数的图像总与x轴有交点。
（2）方程x²-mx+m-2=0两根为x1，x2 根据韦达定理
x1+x2=m x1x2=m-2
∴|x1-x2|=√((x1+x2)²-4x1x2)
=√(m²-4m+8)
=√((m-2)²+4)
≥2 当且仅当m=2时 取得。
∴当m为2时，这两个交点间的距离最小，最小距离2。

Answer 2

（1）因为判别式=m^2-4(m-2)=(m-2)^2+4>0 ，
因此对任意实数 m ，方程 x^2-mx+m-2=0 总有两个不相等的实根，
即 y=x^2-mx+m-2 的图像与 x 轴总有两个不同的交点。

（2）设 y=0 的两个根分别为 x1、x2 ，
则 x1+x2=m，x1*x2=m-2 ，
因此 |x2-x1|^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=m^2-4(m-2)=(m-2)^2+4 ，
由此知，当 m=2 时，|x2-x1| 取最小值 2 。

Answer 3

x轴上y=0
方程y=0中
判别式=[-(m+1)]²-8(m-1)
=m²+2m+1-8m+8
=m²-6m+9
=(m-3)²≥0
所以2x^2-(m+1)x+m-1=0一定有解
所以y=2x^2-(m+1)x+m-1和x轴总有交点