Question

设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x,y,总有f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时,0<f(x)<1

1求f（0） 2证明：当x<0时，f（x）>1
3判断f（x）在R上的单调性，并举出满足条件的两个具体函数
4设集合M={（x，y）|f（x^2）f(y^2)>f(1)},P={(x,y)|f（ax-y+2）=1，a∈R}，且M⌒P=空集，求a的范围

Answer 1

1.取x>0,f(x+0)=f(x)f(0)因为当x>0时,0<f(x)<1，所以f（0）=1，
2.取x>0,即-x<0,f(x-x)=f(x)f(-x)=f(0)=1因为当x>0时,0<f(x)<1，所以f(-x)=1/f(x)>1.
3.取x1,x2属于R,即x2-x1>0不妨设x1<x2,f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1),因为x1<x2，所以
0<f(x2-x1)<1,所以,f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1)<f(x1),所以f（x）为定义域上的减函数。
4.f（x^2）f(y^2)=f（x^2+y^2）>f(1),===>x^2+y^2<1,是以（0,0）为中心1为半径的圆内不包括圆周
f（ax-y+2）=1=f(0) ===>ax-y+2=0
要使集合的交集为空，即ax-y+2=0与x^2+y^2<1没有交点，即（0,0）到直线ax-y+2=0的距离大于或等于1==》，即用点到直线的距离公式得2/根号(a^2+1)>=1,==> -根号3<=a<=根号3

Answer 2

1、令x=1，y=0；所以f（1+0）=f(1)f(0);所以f（0）=1；
2、y=-x,则f[x+(-x)]=f(x)f(-x)=1;即f(x)=1/f(-x);又因为x<0,则-x>0;
所以0<f(-x)<1,所以f(x)=1/f(-x)>1;
下面两题我想一下

追问

好的，谢谢