如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(0,3),B(6,3),C(6,0)
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A.(1)求c的值;(2)若a=-1,且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E,求△ADE的面积S的最大值;(3)若抛物线与矩形有...
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A.
(1)求c的值;
(2)若a=-1,且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E,求△ADE的面积S的最大值;
(3)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N,线段MN的垂直平分线l过点0,交线段BC于点F.当BF=1时,求抛物线的解析式.
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(1)求c的值;
(2)若a=-1,且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E,求△ADE的面积S的最大值;
(3)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N,线段MN的垂直平分线l过点0,交线段BC于点F.当BF=1时,求抛物线的解析式.
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(1)将A(0,3)代入y=ax²+bx+c,得c=3.
(2)若a=-1,且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E,
则D、E分别在线段AB、BC上,或分别在AB、OC上,
若D、E分别在线段AB、BC上,
在y=-x²+bx+3中,令y=3,得x²-bx=0,解得x=0或x=b,故D(b,3),
令x=6,得y=6b-33,故E(6,6b-33),因为0≤6b-33<3,所以11/2≤b<6,
|AD|=b,|EB|=3-(6b-33)=36-6b,
△ADE的面积S=1/2*|AD|*|BE|=1/2*b*(36-b)=-3b²+18b=-3(b-3)²+27,
故当b=11/2时,S有最大值33/4。
显然,此时E(6,3)与C重合。
(3)当M、N应分别在AB、OC上时,设M(-b/a,3),N(x’,0),则向量MN=(x’+b/a,-3),
因为点F在线段BC上,BF=1,所以CF=3-1=2,(6,2),向量OF=(6,2),
因OF⊥MN,所以6(x‘+b/a)-6=0,得ax’+b-a=0①,
又线段MN的中点((-b/a+x‘)/2,3/2)在直线OF:y=1/3x上,
所以3/2=(-b/a+x’)/6,即ax‘-b-9a=0②,
①-②,得b=-4a,
①+②,得x'=5
将N(5,0)代入抛物线方程y=ax²-4ax+3中,得a=-3/5,
故抛物线方程为y=(-3/5)x²+(12/5)x+3。
同理,当M、N应分别在AB、BC上时,可求得抛物线方程为y=(-1/2)x²+(21/8)x+3。
(2)若a=-1,且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E,
则D、E分别在线段AB、BC上,或分别在AB、OC上,
若D、E分别在线段AB、BC上,
在y=-x²+bx+3中,令y=3,得x²-bx=0,解得x=0或x=b,故D(b,3),
令x=6,得y=6b-33,故E(6,6b-33),因为0≤6b-33<3,所以11/2≤b<6,
|AD|=b,|EB|=3-(6b-33)=36-6b,
△ADE的面积S=1/2*|AD|*|BE|=1/2*b*(36-b)=-3b²+18b=-3(b-3)²+27,
故当b=11/2时,S有最大值33/4。
显然,此时E(6,3)与C重合。
(3)当M、N应分别在AB、OC上时,设M(-b/a,3),N(x’,0),则向量MN=(x’+b/a,-3),
因为点F在线段BC上,BF=1,所以CF=3-1=2,(6,2),向量OF=(6,2),
因OF⊥MN,所以6(x‘+b/a)-6=0,得ax’+b-a=0①,
又线段MN的中点((-b/a+x‘)/2,3/2)在直线OF:y=1/3x上,
所以3/2=(-b/a+x’)/6,即ax‘-b-9a=0②,
①-②,得b=-4a,
①+②,得x'=5
将N(5,0)代入抛物线方程y=ax²-4ax+3中,得a=-3/5,
故抛物线方程为y=(-3/5)x²+(12/5)x+3。
同理,当M、N应分别在AB、BC上时,可求得抛物线方程为y=(-1/2)x²+(21/8)x+3。
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