Question

已知:在△abc中,ac=bc,∠acb=90°,点d是ab的中点,点e是ab边上的一点

1.直线bf垂直于ce于点f，交cd于点g（如图1），求证：ae=cg
2.直线ah垂直ce于h，垂足为h，交cd的延长线于点m（如图2），找出图中与be相等的线段，并说明。

Answer 1

(1)∵AC=BC，∠ACB=90°，D是AB中点，
∴CD⊥AB，CD=AB/2=AD=BD
又∵BF⊥CE，
∴∠DCE+∠CGF=∠DCE+∠CED，
∴∠CGF=∠CED，又∵∠DGB=∠CGF，
∴∠CED=∠BGD
又∵∠CDE=∠BDG=90°,
∴△CDE≌△BDG，
∴DG=DE，
∴AD-DE=CD-DG
即AE=CG

(2)∵AH⊥CE，BF⊥CE，
∴∠MAD=∠GBD，
又∵ ∠ADM=∠BDG=90°，AD=BD，
∴△ADM≌△BDG,
∴DM=DG，
又∵DG=DE，
∴DM=DE，
∴CD+DM=BD+DE，
即CM=BE

Answer 2

（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，
∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∠CAE=∠BCGAC=BC∠ACE=∠CBG​
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG，

（2）解：BE=CM．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，∠BEC=∠CMA∠ACM=∠CBEBC=AC​，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．

Answer 3

(1)∵AC=BC，∠ACB=90°，D是AB中点，
∴CD⊥AB，CD=AB/2=AD=BD
又∵BF⊥CE，
∴∠DCE+∠CGF=∠DCE+∠CED，
∴∠CGF=∠CED，又∵∠DGB=∠CGF，
∴∠CED=∠BGD
又∵∠CDE=∠BDG=90°,
∴△CDE≌△BDG，
∴DG=DE，
∴AD-DE=CD-DG
即AE=CG

(2)∵AH⊥CE，BF⊥CE，
∴∠MAD=∠GBD，
又∵ ∠ADM=∠BDG=90°，AD=BD，
∴△ADM≌△BDG,
∴DM=DG，
又∵DG=DE，
∴DM=DE，
∴CD+DM=BD+DE，
即CM=BE