Question

二次函数题

已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将A（3，0）、B（0，3）代入y=ax²+2x+c，得
{9a+6+c=0
c=3
解得{a=-1
c=3
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3
(2)∵y=-x²+2x+3＝-（x-1）²+4
∴抛物线的对称轴为直线X＝1
∵抛物线y=-x²+2x+3与X轴交于点A（3，0），由对称性，可得C（-1，0）
连接AB，则AB于抛物线的对称轴直线X＝1的交点就是所求的D点。
设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（3，0）、B（0，3）代入，得
{3k+b=0
b=3
解得：{k=-1
b=3
∴直线AB的解析式是y=-x+3
令X＝1，得y=-1+3=2
∴D（1，2）
（3）设在第一象限的抛物线上存在点P（m，n），则n= -m²+2m+3
连接OP，
则S△ABP＝S△PBO+S△PAO－S△AOB
＝½×3m+½×3×(-m²+2m+3)－½×3×3
=(3/2)m－(3/2)m²+3m+(9/2)－(9/2)
=-(3/2)m²+(9/2)m
=(-3/2)[m－(3/2)]²＋(27/8)
∴当m=3/2时，n= -m²+2m+3＝15/4，
即存在点P（3/2，15/4），使S△ABP有最大值。

Answer 2

（1）0=9a+6+c,3=c
a=-1,c=3
y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4
（2）-x^2+2x+3=0
x=3,x=-1
∴C(-1,0)
令D(1,d),BC直线方程为：y=kx+b
3=b,0=-k+b
k=-3,b=3
y=-3x+3
d=-3+3=0
D(1,0)
（3）令P(x,-x^2+2x+3)
AB=√(3^2+3^2)=3√2
AB直线方程y=kx+b
3=b,0=3k+b
k=-1,b=3
x+y-3=0
P到AB的距离：
d=|x+(-x^2+2x+3)-3|/√(1^2+1^2)=√2/2|x^2-3x-3|
S△=1/2*AB*d=1/2*√2*√2/2|x^2-3x-3|=1/2|(x-3/2)^2-21/4|
∵0<x<3
∴当x=3/2时，S△最大
最大值=1/2*21/4=21/8

Answer 3

（1）.由B点坐标可得c=3
由A点坐标可得a=-1
解析式 y=-x^2+2x+3
（2）.对称轴x=-b/2a=1
因为C关于对称轴的对称点为点A
所以直线AB与对称轴交点即为D
所以D（1,2）
（3）.根据题意,P为抛物线上与线段AB距离最大的点
（思路：直线AB平行移动与抛物线相切的点为所求）
设直线A‘B‘=-x+m代入抛物线解析式
x^2-3x+m-3=0 令△=0可得m=21/4
代入可得P（2/3,3）

Answer 4

第一问，把已知的两个点带入就可以。y = - x^2 + 2*x + 3
第二问，c点（-1,0）设D 点为（1，y）对称轴为 x=1
接下来求 BD + CD 的最小值
即 d = sqrt(1+ (y-3)^2) + sqrt(2^2 + y^2)
接下来对d求导，让导数为 0 即可。
耐心算一下可得： y = 2 或 y = 6(舍去) 你思考一下为什么？
第三问 假设存在。
先求出AB 直线方程
利用点到直线的距离公式求，并结合 p点在抛物线上，横纵坐标都大于 0
联合求解