Question

请教高中数学题目,请写出详细过程,谢谢! (80/备1)

已知函数 y= f(x)=asin²x + bcos²x +2asinx,其中a,b属于R, 且 a不等于b, a不等于0, b不等于0, 0<=x<=2π
(1) 函数y = f(x)的图象与x轴有没有交点?若没有,说明理由; 若有,指出交点个数,并说明理由.

Answer 1

f(x)=asin^2x+b(1-sin^2x)+2asinx=(a-b)sin^2x+2asinx+b，设f(x)=0，(a-b)sin^2x+2asinx+b=0
Δ=4a^2-4(a-b)b=4(a^2-ab+b^2)=4(a-b)^2+4ab，因为a≠b，所以4(a-b)^2>0。因为a≠0，b≠0，所以4ab≠0，Δ≠0。
（1）Δ>0，即当ab同号，或者ab异号且(a-b)^2+ab>0时，sinx=(-2a±√(4(a-b)^2+4ab))/(2(a-b))
=(-a±√((a-b)^2+ab))/(a-b)。
假设sinx=0，则-a±√((a-b)^2+ab)=0，b(b-a)=0(由题知不成立)。
所以当sinx有一个值为-1或1时，f(x)在0<=x<=2π内与x轴有3个交点，因为sinx的另外一个值会有2个x的值使得sinx取得该值。
当sinx的两个值分别为-1和1时，f(x)在0<=x<=2π内与x轴有2个交点，因为sinx的两个值分别只有1个x的值使得sinx取得该两值。
当sinx的两个值均不为-1和1时，f(x)在0<=x<=2π内与x轴有4个交点，因为sinx的两个值分别各有2个x的值使得sinx取得该两值。
（2）Δ<0，即ab异号且(a-b)^2+ab<0，a^2+b^2-ab<0，ab>0（不成立，因为ab异号），所以Δ<0不成立。