Question

如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠D和∠B互补，求证：AE＝½（AB+AD).

Answer 1

证明：过点C作CF⊥AC交AC的延长线于点F
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AC
∴AE＝AF，CE＝CF，（角平分线性质），∠CEB＝∠CFD＝90
∵∠ADC+∠CDF＝180, ∠ADC+∠B＝180
∴∠CDF＝∠B
∴△CDF≌△CBE （AAS）
∴BE＝DF
∵AF＝AD+DF
∴AE＝AD+DF
∵AE＝AB-BE
∴2AE＝AB-BE+AD-DF＝AB+AD
∴AE＝1/2（AB+AD）

Answer 2

过C作AD延长线的垂线，垂足F。
∵CE＝CF（角平分线性质），∠CDF＝∠CBE（同为∠CDA的补角），
　故Rt△CFD≌Rt△CEB．得DF＝BE（对应边相等）。
∴AE＝AF（Rt△CFA≌Rt△CEA）＝AD＋DF＝AD＋BE，
　两边同加AE：2AE＝（AE＋BE）＋AD＝AB＋AD
∴AE＝½（AB＋AD）．　

Answer 3

因为AC平分角DAC，而且角DCA等于角CAE，所以角DCA等于角DAC，所以DC=AD
那么这个梯形就是底角为60度的等腰梯形
也就是说，AB+AD=1.5AB
EB=0.25AB
所以AE=0.75AB=1/2(AB+AD)