Question

奇偶函数对称区间定积分为何为0 ,几何意义

本人愚笨，刚自学触及微积分，请问奇函数对称区间定积分为什么为0，从几何意义上很难理解啊（面积不可能为0啊）。拿x^3在[-3,3]上的定积分为例吧，请高人指点，不胜感激，因本人刚注册，没有积分，十分抱歉，哪位热心人指点迷津！

Answer 1

面积也有正有负
x轴以上为正，x轴以下为负
奇函数关于原点对称，所以关于原点对称区间两块面积大小相等，符号相反，相加为0。

Answer 2

可用变量代换法证明奇函数对称区间定积分为0
令-u=x
则dx=-du
x^3在[-3，3]上的积分变为u^3在[3，-3]（等价于-x^3在[-3，3]）上的积分

因为用的是变量代换
所以x^3在[-3，3]上的积分=-x^3在[-3，3]上的积分

所以x^3在[-3，3]上的积分=0