Question

己知函数f(x)=x^2-4ax+a^2(a∈R)①若关于x的不等式f(x)≥x的解集为R，求实数a的最大值，②

设函数g(x)=2x^3+3af(x)，若g(x)在区间(0，1)上存在极小值，求实数a的取值范围。

Answer 1

1：不等式f(x)≥x 变形为：x^2-4ax+a^2 - x ≥0 ==> 解集为R，即方程 x^2 - (4a+1) x + a^2 =0 无解或只有一个实数解；
则：△= (4a+1)² - 4a²≤0 ==> (6a+1)(2a+1) ≤0 ==> - 1/2≤ a ≤ - 1/6
实数a 的最大值为 a= - 1/6
2：g(x)=2 x^3+3af(x)=2 x³ + 3a x² - 12a² x + 3 a³
求导g'(x)= 6 x ² + 6a x - 12 a² = 6(x ² + a x - 2 a² ）
g(x)在区间(0，1)上存在极小值，设为X1, 则：
g'(x)=在区间（0, x1）上由负数递增为0，在区间（x1,1）上由0递增为正数
即g'(x)=0在区间（0,1）上有且仅有一个实数根x1
而△= 36（a² + 8 a²）≥0，则：
对于g'(x)= 6 x ² + 6a x - 12 a² = 6(x ² + a x - 2 a² ）有g'(0) = - 12a² ≤0
则必须有g'(1)= 6（1+x-2a²）=6(1-a)(1+2a) ＞0 ==> - 1/2 ＜a＜1
（不能取等于，否则g'(1)=0，g'(x)在区间（0,1）上 递增且一直为负数）
综上可知a的取值范围为：- 1/2 ＜a＜1