Question

史上最难的几何题！谁敢挑战？？！！！简直比第五公设还难！！

已知：四边形EFGH是正方形，AE=BF=CG=DH
求证：四边形ABCD是正方形

Answer 1

证明：反证法。
假设ABCD不是矩形，则必有相邻两个角一个是钝角，另一个不是钝角。
设∠D为钝角，∠C不是钝角，
过G点作AD的垂线，交AD于G1，显然HD＜HG1
过F点作CD的垂线，交CD于F1，显然GC≥GF1，
而HD=GC(已知)，所以HG1＞GF1 ①
另一方面，
直角△HG1G≌直角△GF1F(∵∠G1HG＝90°－∠HGG1=∠FGF1，HG=FG)
∴HG1=GF1 ②
①②二者矛盾
∴四边形ABCD是矩形
∴△HDG≌△GCF（直角△中两边对应相等）
∴DG=FC
∴DC=BC
同理，可证AB=BC=DA
∴四边形ABCD为正方形。

追问

……

追答

有什么问题吗?

追问

太感谢了，只是“假设ABCD不是矩形，则必有相邻两个角一个是钝角，另一个不是钝角”这个是定理吗？

追答

已知：四边形EFGH是正方形，AE=BF=CG=DH
求证：四边形ABCD是正方形
证明：反证法。
假设ABCD不是矩形，则必有相邻两个角一个是钝角，另一个不是钝角。
设∠D为钝角，∠A不是钝角，
过G点作AD的垂线，交AD于D1，显然HD＜HD1
过E点作AD的垂线，交AD于A1，显然AE≥A1E，
而HD=AE(已知)，所以HD1＞A1E ①
另一方面，
直角△HA1E≌直角△GD1H(∵∠A1HE＝90°－∠HGD1=∠HGD1，HE=HG)
∴HD1=A1E ②
①②二者矛盾
∴四边形ABCD是矩形
∴△HDG≌△GCF（直角△中两边对应相等）
∴DG=FC
∴DC=BC
同理，可证AB=BC=DA
∴四边形ABCD为正方形。

Answer 2

假设这个四边形是除正方形外的任意四边形
那么DG AH CF EB三线端不一定都相等 角A角B角C角D不一定全相等
也就是周边4个三角不一定全等：
1.如果4个都全等，那么四边形ABCD是正方形，与假设不符，所以ABCD一定是正方形
2,如果有1个以上不与其他三角全等的，那么GF HE EF HG肯定不完全相等，这和题目条件不符，所以假设还是不成立，四边形ABCD一定是正方形

由此可得，四边形ABCD是正方形

追问

如果4个角都相等也有可能是矩形啊。。。

追答

但矩形四条边不全相等啊，也就是说周边四个三角还是不全等

Answer 3

因为 四边形EFGH是正方形
所以 角EHG=角FEH=角HGF=角GHE=90°
角DHG+角AHE=180°-GHE角=90°
同理：角AEH+角FEB=90°。角EFB=角GFC=90°。角FGC+角DGH=90°
所以 角DHG=角AEH=角BFE=角CGF。角A=角B=角C=角D=90°
又因为AE=BF=CG=DH
所以 三角形DHG全等于三角形AEH全等于三角形BFE全等于三角形CGF(SAS)
所以 DG=AH=BE= CF
又因为AE=BF=CG=DH
所以 DG+CG = AH+DH = BE+AE = CF+BF
即 CD=DA=AB=BC
又因为角A=角B=角C=角D=90°
所以四边形ABCD是正方形

Answer 4

我们老师讲了一个等边三角形的（内等边证外等边）
他说几何方法证到死证不出来，要用代数。（用塞瓦定理和梅拉劳斯定理）

Answer 5

。。。。