Question

log2(x+14)+log2(x+2)=3+log2(ax+3)无实数解，求实数a的取值范围。

log2(x+14)+log2(x+2)=3+log2(ax+3)无实数解，求实数a的取值范围。

答案是：[3/2，5/2） 请问怎么做啊……谢谢~~~

Answer 1

解析，
log(2)(x+14)+log(2)(x+2)
=log(2)[(x+14)*(x+2)]
=log(2)[x²+16x+28]，
3+log(2)(ax+3)
=log(2)8+log(2)(ax+3)
=log(2)(8ax+24)，
又，log(2)(x+14)+log(2)(x+2)=3+log(2)(ax+3)
因此，x²+16x+28=8ax+24
即是，x²+(16-8a)x+4=0
根据定义，x+2>0，x+14>0，ax+3>0
【1】当a>3/2时，-3/a>-2，故，x>-3/a，
设f(x)=x²+(16-8a)x+4，方程无实数解，也就是f(x)没有零点。
此时f(x)的对称轴：x=4a-8>-3/a,
因此，只需△<0满足题意，解出，3/2<a<5/2。
【2】当a=3/2时，x>-2，此时，f(x)=x²+4x+4>0，即是a=3/2满足题意。
【3】当a=0时，x>-2，此时，f(x)=x²+16x+4，设f(x)=0，解出x=-8+2√15>-2，舍去。
【4】当a<3/2且a≠0时，x>-2,
f(x)的对称轴：x=4a-8<-2，因此只需使f(-2)>0就能满足题意，
解出，a>3/2，故，a无解。
综上可得，3/2≤a＜5/2。

Answer 2

化简方程
左边=log2[(x+14)(x+2)]
右边=log2[2^3*(ax+3)]
方程化简为
(x+14)(x+2)=8*(ax+3)
x^2+(16-8a)x+4=0无实数解
判别式小于0肯定无解
判别式=16*(2a-3)(2a-5)<0
a属于(1.5,2.5)

下面判断端点处值，设a=1.5
则解方程x=-2，因为存在log2（x+2）所以，x>-2所以，当a=1.5时，仍无解。
设a=2.5，
则解方程x=+2，满足条件，有解。
最终a的取值范围为[1.5,2.5)