Question

已知函数f(x)=2+log3x(1≤x≤9),求函数y=[f(x)^2+f(x^2) 的最大值和最小值,并求出相应的值

这道题可不可以将y=f(x)^2的值算出后加上f(x^2) 的值

Answer 1

不行。两者是同步进行的，相互限制的，不能独立开来，不然范围会扩大！
解：y=(2+log3x)^2+2+2log3x
设t=log3x 则0<=t<=2
则y=(2+t)^2+2+2t=t^2+6t+6
开口向上，对称轴为t=-3
剩下你应该会了，自己做吧！

Answer 2

y=(2+log3x)^2+2+2log3x=(log3x)^2+6log3x+6=(log3x+3)^2-3
∵1≤x≤9 ∴0≤log3x≤2 底大于1，递增
当x=1时，y取最小值6；当x=9时，y取最大值22。

对这个题来说，因为f(x)^2与f(x^2)在同一点取得最大值和最小值，所以分别求出最大最小值后，再相加是可以的。但是一般地说，是不能分开来求的。
例如y=sinx+cosx,-1<=sinx<=1,-1<=cosx<=1,但是-√2<=sinx+cosx<=√2。因为sinx的最大值在90度时取得，cosx的最大值在0度时取得，sinx+cosx的最大值在45度时取得。最小值也是这样。

Answer 3

y=f(x)^2+f(x^2)
=(log3(x))^2+4log3(x)+4+2+log3(x^2)
=(log3(x))^2+6log3(x)+6
=[log3(x)+3]^2-3
1<=x<=9 0<= log3(x)<=2
令t=log3(x) 0<=t<=2
y=(t+3)^2-3
函数在t∈【0,2】上是增函数
所以当x=1，即t=0时 ymin=6
当x=9，即t=2时 ymax=22