Question

已知集合M={x|x²+ax+b=2,a,b∈R}. (1)当a,b满足什么条件时，集合M中恰有3个元素？（2）探究集合M中的

已知集合M={x|x²+ax+b=2,a,b∈R}. (1)当a,b满足什么条件时，集合M中恰有3个元素？（2）探究集合M中的元素恰好分别为直角三角形的三边长的充要条件。
M={x||x²+ax+b|=2,a,b∈R}.

Answer 1

M中的元素就是方程x²+ax+b-2=0的解。
我比较想知道开口大小和方向确定了的一元二次方程有什么办法有三个根……

追问

是M={x||x²+ax+b|=2,a,b∈R}.

追答

呃这样貌似就能算了……
（1）抛物线y=x²+ax+b是开口向上的抛物线，|y|=2有3个x满足条件的话，说明y=2的时候有两个x，y=-2的时候有一个x。
那么就可以化简成x²+ax+b+2=0这个方程只有一个根的情况了。于是根据判别式△=0可以计算出a、b所满足的条件：a²-4（b+2）=0 （可以进一步化简之）。
（2）三个根按大小顺序排列设为x1、x2、x3。
根据抛物线图像特点可知如果三个数刚好是Rt△的三边，那肯定是（x2）²=（x3）²-（x1）²。
也就是（x2）²=（x3+x1）（x3-x1）
而且从图像上得知，x2就是刚才那个方程x²+ax+b+2=0的唯一那个根，而x1和x3则是抛物线
y=x²+ax+b与y=2的交点，也就是方程x²+ax+b-2=0的两个根。
于是：（x2）²=b+2，x1+x3=-a，x1x3=b-2，而x3-x1=根号下[（x1+x3）²-4x1x3] （取正值）
代入计算就是了……我懒得算了，嘿嘿。