Question

已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ，曲线y=f(x)在点（1，f（1））处切线方程为x+2y-3=0

如果当x＞0，且x≠1时，f(x)＞lnx/(x-1) + k/x ，求k的取值范围。
老师给的正确答案是:
由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）
f′(x)=a(x+1/x -lnx)/(x+1)^-b/x^
由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2 ，且过点（1，1），故 f(1)=1 f′(1)=-1/2
即b=1 a /2 -b=-1/ 2 解得a=1，b=1
求得f(x)=lnx /x+1 +1/ x ，所以
f(x)-(lnx/x-1+k/ x )=1 /1-x2 (2lnx+(k-1)(x2-1)/x）
考虑函数h(x)=2lnx+(k-1)(x2-1) /x （x＞0），则
h′(x)=(k-1)(x2+1)+2x /x2
（i）设k≤0，由h′(x)=k(x2+1)- (x-1)2 /x^知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得1 /1-x2 h(x)＞0；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得1 /1-x2 h（x）＞0
从而当x＞0，且x≠1时，f（x）-（lnx/ x-1 +k /x ）＞0，即f（x）＞lnx/ x-1 +k /x ．
（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，1 /1-k ）时，（k-1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而
h（1）=0，故当x∈（1，1 /1-k ）时，h（x）＞0，可得1 /1-x^ h（x）＜0，与题设矛盾．
（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得1 /1-x^ h（x）＜0，与题设矛盾．
综合得，k的取值范围为（-∞，0]
我的疑问是：
为什么k要分这三类呢？还有写x的区间的时候，1 /1-k 怎么来的？
万分感谢！！~~

Answer 1

f(x)=lnx /（x+1） +1/ x ，
由当x＞0，且x≠1时，f(x)＞lnx/(x-1) + k/x得
f(x)-[lnx/(x-1)+k/ x ]=2lnx/(1-x^2) +(1-k)/x,
考虑函数h(x)=2lnx+(1-k)(1-x^2)/x，（x＞0，x≠1），
则h'(x)=2/x+(1-k)[-1/x^2-1)=[(k-1)(x^2+1)+2x]/x^2,
考虑上式分子中x^2的系数的符号，∴要分两类：k-1>=0,<0.
对于k-1<0,把h'(x)变为[k(x^2+1)-(x-1)^2]/x^2,再分成两类：k<=0,0<k<1.
目的都是便于考虑h'(x)的符号。
0＜k＜1时，（k-1）（x2+1）+2x＞0，
<==>x^2-2x/(1-k)+1<0,
<==>[1-√（2k-k^2)]/(1-k)<x<[1+√（2k-k^2)]/(1-k),
您给的答案有误。
下面给出我的一种解答：曲线y=f(x)在点（1，f（1））处切线方程为x+2y-3=0，
∴f(1)=b=1,f(x)=alnx/(x+1)+1/x,f’(x)=a[(x+1)/x-lnx]/(x+1)^2-1/x^2,f’(-1)=a/2-1=-1/2,a=1.
∴f(x)=lnx/(x+1)-1/x.
由x＞0，且x≠1时，f(x)＞lnx/(x-1) + k/x得
k<2xlnx/(1-x^2)-1,记为g(x),(x>0,x≠1)，
g’(x)=2[(lnx+1)(1-x^2)+2x^2*lnx]/(1-x^2)^2由g’(x)=0得lnx=(x^2-1)/(x^2+1),x=1.
x→1时g(x)→2（lnx+1）/(-2x)-1→-2.
下面考虑2xlnx/(x^2-1)>=-1①:
0<x<1时lnx<0,①变为2xlnx<=1-x^2，显然成立；
x>1时①变为h(x)=x^2+2xlnx>=1,h’(x)=2x+2(lnx+1),↑，
∴h’(x)>h’(1)=4>0,∴h(x)↑，h(x)>h(1)=1.
综上，①成立。
∴k<=-2.

追问

答案没有问题的。在0＜k＜1时，由于图像开口向下，1＞[1-√（2k-k^2)]/(1-k)，1/1-k<[1+√（2k-k^2)]/(1-k),那（1,1/1-k）上h'(x)＞0。 多谢啦！