Question

在△ABC中，已知a cosA+b cosB=c cosC,a=2b cosC,试判断△ABC的形状

Answer 1

解：∵a*cosA+b*cosB=c*cosC，a=2b*cosC
由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC，得
sinA*cosA+sinB*cosB=sinC*cosC ①
sinA=2sinB*cosC ②
由①，知
sin2A+sin2B=sin2C
∴2sin(A+B)*cos(A-B)=2sinC*cosC
∴ cos(A-B)=cosC ③
由②③，得
sinA=2sinB*cos(A-B)
=sinA+sin(2B-A)
∴ sin(2B-A)=0
则 2B-A=0 或2B-A=π
故 A=2B 或A=2B-π
∴ cos(A-B)=cos(2B-B)=cosB=cosC
或 cos(A-B)=cos(2B-π-B)=cos(π-B)=cosC
∴ B=C 或π-B=C(舍去)
则 b=c
又 A+B+C=2B+B+B=π
∴ B=π/4
C=π/4，A=π/2
因此，△ABC为等腰直角三角形