Question

已知函数f(x)=x^2+ax+3，当-2≤x≤2时，f(x)≥a恒成立，求a的最小值

Answer 1

思路：对恒成立问题，常用的方法有两种：一是直接法（数形结合），此法一般是出现一次或二次函数时才用，当然有些基本函数也可以用，即根据这些函数的性质直接解题。二是变量分离法，即将所求参数和其它变量分离开来（一左一右），从而转化为求函数的最值问题。具体问题具体分析，根据题目的形式决定选择哪种方法，才能达到最佳的解题效果。
解：该题是二次函数，故可用直接法解题。
设g(x)=f(x)-a=x^2+ax+3-a 故当-2≤x≤2时，f(x)≥a恒成立，即g(x)>=0恒成立
函数开口向上,对称轴x=-a/2
如从正面分析，应该分成三种情况：
当对称轴在左侧时，则需满足：f(-2)>=0 f(2)>=0 且-a/2<-2 无解
当对称轴在右侧时，则需满足：f(-2)>=0 f(2)>=0 且-a/2>2 解得-7<=a<-4
当对称轴在区间内时，则需满足：f(-2)>=0 f(2)=>0 且判别式<0 即a^2-4(3-a)<=0 以及-2<=-a/2<=2
解得-4<=a<=2
综上所述，得-7<=a<=2
则a的最小值为-7