Question

初二数学题：等腰梯形ABCD中，上底AD=2,下底BC=8,M是AB的中点，若MD垂直于DC,那么梯形ABCD的面积是多少？

等腰梯形ABCD中，上底AD=2,下底BC=8,M是AB的中点，若MD垂直于DC,那么梯形ABCD的面积是多少？

Answer 1

过D作DQ⊥BC于Q
作CD中点N，连结MN，交DQ于S
MN为梯形ABCD中位线
∴MN=5,MN‖BC
∴MS为梯形ABQD中位线
∴MS=7/2,S为DQ中点
∵DQ⊥BC,MN‖BC
∴DQ⊥MN
设DS=SQ=a
则MS²+PS²=MD²
则MP²=49/4 + a²
SN为△DQC中位线
∴SN=3/2
∴DN²=9/4 +a²
∵MD⊥CD
∴MD²+DN²=MN²
∴49/4 + a²+ 9/4 +a²=25
解得a=√21 /2
DQ=√21
S=1/2(2+8)*√21=5√21

Answer 2

延长DM，CB相交于P，过点D作DH⊥BC于H
因为AD‖PB
所以AD/BP=AM/MB=1
所以BP=AD=2
所以PC=BP+BC=2+8=10
因为ABCD中，AD‖BC，DH⊥BC于H
所以CH=(BC-AD)/2=(8-2)/2=3
所以PH=PC-CH=10-3=7
因为∠P=∠P，∠PDC=∠PHD=90°
所以△CDP相似于△DHP
所以DP/HP=CP/DP
即DP/7=10/DP
所以DP=√70
在Rt△PDH中，∠PHD=90°
所以DH=√(PD^2-PH^2)=√((√70)^2-7^2)=√21
所以S(梯形ABCD)=(AD+BC)*DH/2=(2+8)*√21/2=5√21

楼主的图示不标准。

Answer 3

过D作DQ⊥BC于Q
作CD中点N，连结MN，交DQ于S
MN为梯形ABCD中位线
∴MN=5,MN‖BC
∴MS为梯形ABQD中位线
∴MS=7/2,S为DQ中点
∵DQ⊥BC,MN‖BC
∴DQ⊥MN
设DS=SQ=a
则MS²+PS²=MD²
则MP²=49/4 + a²
SN为△DQC中位线
∴SN=3/2
∴DN²=9/4 +a²
∵MD⊥CD
∴MD²+DN²=MN²
∴49/4 + a²+ 9/4 +a²=25
解得a=√21 /2
DQ=√21
S=1/2(2+8)*√21=5√21

追问

这个答案我看过了，好复杂，没有简单一点的吗

追答

没有

Answer 4

设DE垂直于BC，因为AD等于2，BC等于8，等腰梯形；所以CE等于3；因为勾股定理；所以CD等于5，DE等于4；所以S等腰梯形ABCD等于20

追问

RT△CDE中只有CE=3，另两边无法确认。