Question

求曲线 x^2+(y-x^(2/3))^2=1围成的面积

求曲线 x^2+(y-x^(2/3))^2=1围成的面积

用定积分求了半天没求出来。。。这是个封闭图形，而且老师说结果挺好玩儿的。求各位大神解答！！！

Answer 1

令y - x^(2/3) = sint

那么x^2+(sint)^2=1所以x=cost

所以y = sint + (cost)^(2/3)

计算t在区间(-pi/2，pi/2)上的定积分的和即得面积的一半

S = ∫ y dx = ∫ sint + (cost)^(2/3) d cost = - ∫ [sint + (cost)^(2/3)] sint dt 

利用sint (cost)^(2/3)是奇函数的性质可以得到积分为0

所以计算(sint)^2的结果得到S = π / 2

所以整个图形的面积为 π

这个函数很有爱的哦，下面画出函数图形

Answer 2

x³=x²-4x+4
x³-x²+4x-4=0
x²(x-1)+4(x-1)=0
(x²+4))(x-1)=0
x=1
所以交点（1,1）
x³和(x-2)²与x轴交点是(0,0),(2,0)
所以面积=∫(0到1)x³dx+∫(1到2)(x-2)²dx
=x^4/4(0到1)+(x-2)³/3(1到2)
=(1/4-0)+(0+1/3)
=7/12