Question

问一道初中数学题 烦请高人指教，O(∩_∩)O谢谢！

在正方形ABCD中，45°角∠ECF的顶点与C重合，角的两边与直线AD、直线BD分别交于F、E两点，连接EF、EA，直线CF与直线AE交于K点，若CD=6，AF=2，则AK=____。

这道题有两个解，我就先画出一个图。我想先会求一个解，另一个也就差不多了，麻烦高人帮忙做一下，谢谢！我已经证出△CEF是等腰直角三角形了，然后就不知道该算什么了，想解△AFK却只找到两个条件。最好是有些详细的步骤，稍微提示一下也好，^_^。

Answer 1

将直线DAF看成y轴，D（0,0），A（0,6），F（0,8）

DC看成x轴，C（6,0），∴B（6,6）。

连AC，∵∠ACB=∠FCE=45°，

∴∠ACF=∠BCE，

AC=6√2，CF=10，

BC=6，CE=5√2（∵CF=10，∴CE=5√2）

∴△ACF∽△BCE。

由AF=2，∴BE=√2（相似比=√2）

∴DE=6√2+√2=7√2.

∵∠EDC=45°，

∴E（7,7）

由AE确定直线：y=（1/7）x+6（1）

由CF确定直线：y=（-4/3）x+8（2）

交于K（42/31,192/31），由A（0,6）

∴AK²=（42/31）²+（192/31-6）²

=1800/961

AK=30√2/31. 

Answer 2

我不知道你们学到什么深度，我先说说思路吧，设角bcf=x
cb平行ad，得出角kfa=x
bd为对角线，得出角eab=角ecb=45-x，得出角kaf=45+x，得角akf=135-2x
fa=2，cd=ad=6，得出sinx=3/5，cosx=4/5
根据正玄定理，ak/sin角kfa=af/sin角akf
角kfa=x，akf=135-2x，sinx=3/5，cosx=4/5，af=2，可计算出ak

当角ecf在角bcd内时，用类似方法计算即可

就是不知道初中学没学正玄定理和正选加和公式，都忘记了

Answer 3

解：设∠FCD=α，以CB为y轴，CD为x轴建立直角坐标。
CE的方程为：y=[tan(α+45°)]x=-7x, 即 y=-7x........(1)
DE的方程为：y=-(x-6)=-x+6 即 y=-x+6......(2)
(1),(2)式联立解出x,y x=-1, y=7 即E点的坐标为E(-1,7)
用同样的方法知道：
CF的方程为：y=(4/3)x
EA的方程为：y-6=-1/7(x-6)
解得：x=144/31 y=192/31
AK=[(6-144/31)^2+(192/31-6)^2]^1/2
=[(42/31)^2+(6/31)^2]^1/2
=[(1800)^1/2]/31
=(30/31)(2)^1/2
≈1.37

Answer 4

嗯，建直角坐标系用直线方程说白的是函数，相等就是有交点，解出来就可以了，最后解个勾股定理答案约等于1.37