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请参考盛金公式。
盛金公式 Shengjin's Formulas
一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，
总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：
X⑴=X⑵=X⑶=－b/（3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：
X⑴=（－b－Y⑴^（1/3）－Y⑵^（1/3）)/（3a）；
X（2,3）=（－2b+Y⑴^（1/3）+Y⑵^（1/3））/（6a）±i3^（1/2）（Y⑴^（1/3）－Y⑵^（1/3））/（6a），
其中Y（1,2）=Ab+3a（－B±（B^2－4AC)^（1/2））/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：
X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，
其中K=B/A，（A≠0）。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：
X⑴=（－b－2A^（1/2）cos（θ/3））/（3a）；
X（2,3）=（－b+A^（1/2）（cos（θ/3）±3^（1/2）sin（θ/3）））/（3a)
图片上x1处的B应该是b，见文字说明
，
其中θ=arccosT，T=（2Ab－3aB)/（2A^（3/2）），（A>0，－1<T<1）。
盛金判别法 Shengjin's Distinguishing Means
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭复根；
③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
盛金定理 Shengjin's Theorems
当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。
盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1<T<1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
编辑本段公式特点 当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，（A≠0）。简明易记，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方）。盛金公式③手算解题效率高。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子（－B±（B^2－4AC)^（1/2））/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
1、要把盛金公式、盛金判别法、盛金定理有机地结合起来正确理解，不可分割。
例如：
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：
X⑴=－b/a+K；
X⑵=X⑶=－K/2，
其中K=B/A，（A≠0）。
这里A≠0，是指分母不能为0，因为分母为0无意义。
但并非A≠0的一切值都有可能出现在盛金公式③。
shufubisheng在2010-06-01 23:29把“盛金公式”的词条“盛金判别法”中的“③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根”修改为“③：当Δ=B^2－4AC=0且A≠0时，方程有三个实根，其中有一个两重根”。修改理由是：“当Δ=B^2－4AC=0时，不是‘方程有三个实根，其中有一个两重根’的充分条件”。事实上，这样表述是错误的。
这是因为没有正确理解盛金公式解题法。把盛金公式、盛金判别法、盛金定理分割开来理解。
注意：A≠0与A≤0是不一样的。
例如：—5≠0，但是—5<0。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
根据盛金定理7，盛金公式③一定不会出现A=—5这样的值。
举一个具体的例子：
X^3－2X^2+3X+R=0
a=1，b=－2，c=3，d=R。
A=－5<0。
根据盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0。
可知，无论d=R为任何实数，这个方程必定有Δ>0。
如：取R=1，则方程为
X^3－2X^2+3X+1=0
a=1，b=－2，c=3，d=1。
A=－5；B=－15；C=15，Δ=525>0。
取R=±1，R=±2，……，这样继续下去，根据盛金定理5，这个方程永远都是Δ>0。
就是说，这个方程不可能出现Δ=0的值。显然，A=－5<0这样的值不可能出现在盛金公式③。
如果当Δ=B^2－4AC=0时，仅限于A≠0，那么A=—5≠0这样的值就有可能出现在盛金公式③中。根据盛金定理7，盛金公式③不可能出现A=—5<0这样的值，这与事实不符，显然这样表述是错误的。
根据盛金定理5及盛金定理7，这很清楚：A=—5<0这样的值，只有可能出现在盛金公式②，而不可能出现在盛金公式③。
2、解题过程中要正确理解和掌握方法，有利于提高解题效率。
⑴、当A=B=0时，有Δ=0。但此时没有必要计算Δ=0的值。
根据盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式①解题）。
根据盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式①解题）。
所以，只要当A=B=0时，没有必要计算C与Δ的值，直接套用盛金公式①解题即可。
⑵、当Δ=0时，若B≠0，根据盛金判别法或盛金定理7，直接套用盛金公式③解题即可。
就是说，当A=B=0时，（有Δ=0），直接套用盛金公式①解题；当Δ=0时，若B≠0，直接套用盛金公式③解题。
总之，学习“盛金公式解题法”要把盛金公式、盛金判别法、盛金定理有机地结合起来正确理解，才会收到更好的学习效果。
其实很简单，盛金公式、盛金判别法、盛金定理是有机联系的、是清晰的，在解题中直接套用（对号入座）就可以了。
编辑本段解题举例 运用盛金公式解题的步骤：
1、写出系数a、b、c、d的值（以免当b=0时，误把c的值当b的值输入计算器）；
2、按顺序求出A、B、C、Δ的值；
3、根据盛金判别法套用相应的盛金公式即可得出正确结果。
盛金公式 Shengjin's Formulas
一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，
总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：
X⑴=X⑵=X⑶=－b/（3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：
X⑴=（－b－Y⑴^（1/3）－Y⑵^（1/3）)/（3a）；
X（2,3）=（－2b+Y⑴^（1/3）+Y⑵^（1/3））/（6a）±i3^（1/2）（Y⑴^（1/3）－Y⑵^（1/3））/（6a），
其中Y（1,2）=Ab+3a（－B±（B^2－4AC)^（1/2））/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：
X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，
其中K=B/A，（A≠0）。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：
X⑴=（－b－2A^（1/2）cos（θ/3））/（3a）；
X（2,3）=（－b+A^（1/2）（cos（θ/3）±3^（1/2）sin（θ/3）））/（3a)
图片上x1处的B应该是b，见文字说明
，
其中θ=arccosT，T=（2Ab－3aB)/（2A^（3/2）），（A>0，－1<T<1）。
盛金判别法 Shengjin's Distinguishing Means
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭复根；
③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
盛金定理 Shengjin's Theorems
当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。
盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1<T<1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
编辑本段公式特点 当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，（A≠0）。简明易记，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方）。盛金公式③手算解题效率高。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子（－B±（B^2－4AC)^（1/2））/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
1、要把盛金公式、盛金判别法、盛金定理有机地结合起来正确理解，不可分割。
例如：
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：
X⑴=－b/a+K；
X⑵=X⑶=－K/2，
其中K=B/A，（A≠0）。
这里A≠0，是指分母不能为0，因为分母为0无意义。
但并非A≠0的一切值都有可能出现在盛金公式③。
shufubisheng在2010-06-01 23:29把“盛金公式”的词条“盛金判别法”中的“③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根”修改为“③：当Δ=B^2－4AC=0且A≠0时，方程有三个实根，其中有一个两重根”。修改理由是：“当Δ=B^2－4AC=0时，不是‘方程有三个实根，其中有一个两重根’的充分条件”。事实上，这样表述是错误的。
这是因为没有正确理解盛金公式解题法。把盛金公式、盛金判别法、盛金定理分割开来理解。
注意：A≠0与A≤0是不一样的。
例如：—5≠0，但是—5<0。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
根据盛金定理7，盛金公式③一定不会出现A=—5这样的值。
举一个具体的例子：
X^3－2X^2+3X+R=0
a=1，b=－2，c=3，d=R。
A=－5<0。
根据盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0。
可知，无论d=R为任何实数，这个方程必定有Δ>0。
如：取R=1，则方程为
X^3－2X^2+3X+1=0
a=1，b=－2，c=3，d=1。
A=－5；B=－15；C=15，Δ=525>0。
取R=±1，R=±2，……，这样继续下去，根据盛金定理5，这个方程永远都是Δ>0。
就是说，这个方程不可能出现Δ=0的值。显然，A=－5<0这样的值不可能出现在盛金公式③。
如果当Δ=B^2－4AC=0时，仅限于A≠0，那么A=—5≠0这样的值就有可能出现在盛金公式③中。根据盛金定理7，盛金公式③不可能出现A=—5<0这样的值，这与事实不符，显然这样表述是错误的。
根据盛金定理5及盛金定理7，这很清楚：A=—5<0这样的值，只有可能出现在盛金公式②，而不可能出现在盛金公式③。
2、解题过程中要正确理解和掌握方法，有利于提高解题效率。
⑴、当A=B=0时，有Δ=0。但此时没有必要计算Δ=0的值。
根据盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式①解题）。
根据盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式①解题）。
所以，只要当A=B=0时，没有必要计算C与Δ的值，直接套用盛金公式①解题即可。
⑵、当Δ=0时，若B≠0，根据盛金判别法或盛金定理7，直接套用盛金公式③解题即可。
就是说，当A=B=0时，（有Δ=0），直接套用盛金公式①解题；当Δ=0时，若B≠0，直接套用盛金公式③解题。
总之，学习“盛金公式解题法”要把盛金公式、盛金判别法、盛金定理有机地结合起来正确理解，才会收到更好的学习效果。
其实很简单，盛金公式、盛金判别法、盛金定理是有机联系的、是清晰的，在解题中直接套用（对号入座）就可以了。
编辑本段解题举例 运用盛金公式解题的步骤：
1、写出系数a、b、c、d的值（以免当b=0时，误把c的值当b的值输入计算器）；
2、按顺序求出A、B、C、Δ的值；
3、根据盛金判别法套用相应的盛金公式即可得出正确结果。
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