Question

已知A-BCD三棱锥各条棱都相等, 1.求AC与面BCD所成夹角的余弦值 2.若Q为AD的中点，求CQ与面BCD夹角的正弦值

已知A-BCD三棱锥各条棱都相等,
1.求AC与面BCD所成夹角的余弦值
2.若Q为AD的中点，求CQ与面BCD夹角的正弦值

Answer 1

解：（辅助线按说法自己画）
过A点作AO⊥面BCD于O，连接OC并延长OC交AD于E，连接AE，则∠AOC为AC与面BCD所成的角；过Q点作QF⊥面BCD于F，连接CF，DO，点F在DO上，则∠QCF为CQ与面BCD的角。
设A-BCD三棱锥棱长单位为1.
在Rt△AOC中，OC＝2／3 CE＝2／3·√3／2＝√3／3 即OC＝√3／3 AC＝1 AO＝√6／3
∴ cos∠ACO＝OC／AC＝√3／3
在Rt△QFC中，CQ＝√3／2 ，QF ＝1／2AO ＝√6／6，
∴ sin∠QCF＝QF／CQ＝√6／6／√3／2＝√2／3
故AC与面BCD所成夹角的余弦值为√3／3
CQ与面BCD夹角的正弦值为√2／3